2025-11-25a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-08-23-集合论习题（第二卷）.md

@@ -164,7 +164,8 @@ $$
 ### 疑问
 证明中并没有使用到选择公理吧，难道对$$ZF$$也成立？
 ## 习题3.2
-页数：401页（书382页）(暂时未完成)
+页数：401页（书382页）
+
 相关概念见[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析/#力迫法)
 ### 原题
 设$M$是$ZFC$的一个可数传递模型，令$\mathbb P=((\omega)^{<\omega},\leq,\varnothing)$。证明：存在一个$\mathbb P$的一个滤子$G$以至于没有任何传递集合$N$具备如下特性：
@@ -176,10 +177,35 @@ $$
 >注：这个地方的序$\leq$应该不是字典序（逐次比较数字大小），那是没有最大元的，应该是扩展序，比如$(1,2,3)\leq(1,2)$，作为一切的起源$\varnothing$自然也就是最大的。
 
 ### 证明
-为了让$N$不存在，也就是要让目标的$N$尽可能地大，以致于不满足第四条，再结合滤子，自然地考虑$\mathbb P-$泛型滤子$G$的力迫扩张$M[G]$，可以递归地证明$M\subseteq M[G]\subseteq N$
+为了让$N$不存在，也就是要让目标的$N$尽可能地大，以致于不满足第四条，再结合滤子，自然地考虑$\mathbb P-$泛型滤子$G$的力迫扩张$M[G]$，可以递归地证明$M\subseteq M[G]\subseteq N$<br><br>
+首先假设$\forall(\sigma,p)\in\tau(\sigma/G\in N)$，考虑到$N$满足分解原理，故先在$N$中收集所有满足条件的$\sigma$，再使用并集公理取并，即可得到$\tau/G\in N$<br><br>
+假设$Ord\cap M=A$，对于$\forall\beta\in A(\check\beta/G=\beta\in N)$，我们考虑名字$$\check A=\{(\check\beta,1)\mid\beta\in A\}$$，明显的，$\check A$就是$A$的名字，也容易发现$\check A/G=A\in M[G]\subseteq N$，从而$\bigcup A=\alpha\in N$，可是$\alpha\notin M$，自然第四条就不可能了。再加上$\mathbb P-$泛型滤子一定存在，原命题也自然得证了。
+### 瑕疵
+看起来证明是没什么问题，可是我还是觉得不妥，为什么原命题要强调$N$不满足幂集公理呢，毕竟加上也肯定不可能，不是吗？
 
-首先假设$\forall(\sigma,p)\in\tau(\sigma/G\in N)$，考虑到$N$满足分解原理，故先在$N$中收集所有满足条件的$\sigma$，再使用并集公理取并，即可得到$\tau/G\in N$
+## 推论3.3
+[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析/#力迫扩张)中关于$M[G]$满足$\in-$极小原理的证明<br><br>
+设有$\tau/G\in M[G]$，也就是说我们要证明
+$$
+\exists\sigma/G\in\tau/G(\sigma/G\cap\tau/G=\varnothing)
+$$
+首先，我们来分析一下，对于$\forall\tau_1/G\in\tau/G$，我们要有$\tau_1/G\notin\sigma/G$，否则我们就不可能有上述的结论。而要满足这一条，最简单的，如果能证明$\tau_1\notin\operatorname{dom}(\sigma)$，那么就肯定会有$\tau_1/G\notin\sigma/G$<br><br>
+所以我们的重点就是找到这样的一个$\sigma$，它满足
+$$
+\forall \tau_1\in\operatorname{dom}(\tau)(\tau_1\notin\operatorname{dom}(\sigma))
+$$
+或者用更接近极小原理的话说是
+$$
+\operatorname{dom}(\sigma)\cap\operatorname{dom}(\tau)=\varnothing
+$$
+>都使用$\operatorname{dom}$，是因为本质上$\tau,\tau_1,\sigma$都是名字，是形如$(\check x,p)$这样的有序对的集合
 
-假设$Ord\cap M=\alpha$，对于$\forall\beta<\alpha(\check\beta/G=\beta\in N)$，我们考虑名字$\check\alpha=\{(\check\beta,1)\mid\beta<\alpha\}$，明显的，$\check\alpha$就是$\alpha$的名字，也容易发现$\check\alpha/G=\alpha\in M[G]\subseteq N$，从而$\alpha\in N$，可是$\alpha\notin M$，自然第四条就不可能了。再加上$\mathbb P-$泛型滤子一定存在，原命题也自然得证了。
-### 瑕疵
-看起来证明是没什么问题，可是我还是觉得不妥，为什么原命题要强调$N$不满足幂集公理呢，毕竟加上也肯定不可能，不是吗？
+不过，我们还需要考虑一下我们这个想法是不是真的，真的能有这样的$\sigma$吗？举几个例子，大家很容易就能发现，这一条实际上是在说名字的定义不能相互嵌套，阻止的是像下面这样的嵌套定义
+$$
+\begin{cases}
+\sigma=\{(\sigma_1,p_1),(\sigma_2,p_2)\}\\
+\sigma_1=\{(\sigma_2,p_1)\}\\
+\sigma_2=\{(\sigma_1,p_2)\}
+\end{cases}
+$$
+当然，这只是我们的理解，严谨的证明肯定得依赖对名字定义的顺序剖析。也就是说我们要讨论名字的定义顺序，自然我们会引入一个函数将名字映射到一个序数，来讨论名字定义的先后，最终证明名字只能先后定义，不能套娃。在这里我不想写那些技术细节，因为那不重要，理解思路后很容易就能自己证明出来。而证明出这个结论后，$M[G]$中极小原理也就能证明了。

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

@@ -86,10 +86,10 @@ $$
 力迫名字：<br>
 假设模型$M$，$\mathfrak P\in M$是一个力迫构思。一个集合$\tau$是一个$\mathbb{P}-$名字当且仅当$\tau$是一个二元关系, 并且对于任意的$(\sigma , p) \in \tau$,$\sigma$也是一个$\mathbb{P}-$名字以及$p\in P$<br><br>
 名字中最常使用和出现的我们称之为典型名字，比如：
-1. 对于每一个集合$x$,称名字$\check{x}=\{(\check{y},1)\mid y\in x\}$为集合$x$的典型名字,并且用记号$\check{x}$来表示集合$x$的典型名字
-2. 令$\dot{G}=\{(\check{p},p)\mid p\in P\}$。称集合$\dot{G}$为力迫构思$\mathbb{P}-$泛型滤子的典型名字
+1. 对于每一个集合$x$,称名字$$\check{x}=\{(\check{y},1)\mid y\in x\}$$为集合$x$的典型名字,并且用记号$\check{x}$来表示集合$x$的典型名字
+2. 令$$\dot{G}=\{(\check{p},p)\mid p\in P\}$$。称集合$\dot{G}$为力迫构思$\mathbb{P}-$泛型滤子的典型名字
 
-全体名字的集合我们可以记作$M^\mathbb P$。而力迫语言就是基于这些名字构造出来的，对于一个力迫构思$\mathbb{P}$而言，$\mathbb{P}-$力迫语言，记成$$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$，是由二元关系符号$\in$以及以全体$\mathbb{P}-$名字为常元符号所组成的逻辑表达式的类。换句话说，$\mathbb{P}$力迫语言$$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$恰好由下述集合组成:  $$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$，其中$\phi (\upsilon_{1},\dots ,\upsilon_{n})$是一个彰显自由变元符号的语言$$\mathcal{L}_{\in}$$的表达式，$$\tau_{1},\dots ,\tau_{n}$$是$\mathbb{P}-$名字，$$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$是用这些名字分别替换相应的自由变元符号之后得到的解析表达式，也就是力迫语言的语句。
+全体名字的集合我们可以记作$M^\mathbb P$。而力迫语言就是基于这些名字构造出来的，对于一个力迫构思$\mathbb{P}$而言，$\mathbb{P}-$力迫语言，记成$$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$，是由二元关系符号$\in$以及以全体$\mathbb{P}-$名字为常元符号所组成的逻辑表达式的类。换句话说，$\mathbb{P}$力迫语言$$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$恰好由下述集合组成:  $$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$，其中$\phi (\upsilon_{1},\dots ,\upsilon_{n})$是一个彰显自由变元符号的语言$$\mathcal{L}_{\in}$$的表达式，$$\tau_{1},\dots ,\tau_{n}$$是$\mathbb{P}-$名字，$$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$是用这些名字分别替换相应的自由变元符号之后得到的解析表达式，也就是力迫语言的语句。但是这些语句是不能直接使用的，因为它们当中还包含了不少的名字，在每一个具体的扩张模型$M[G]$中，我们还需要对语句中的所有名字都进行解释，也就是下面说的用$\check x/G$代替语句中的$\check x$，这才能得到真正模型中的语句。
 ### 力迫扩张
 定义了语言之后我们就需要对模型进行扩张了。假设模型$M$，力迫构思$\mathbb P\in M$，$G\subset P$是$M-$泛型滤子。
 
@@ -99,7 +99,15 @@ $$
 \tau/G=\{\sigma/G\mid(\exists p\in G((\sigma,p)\in\tau))\}
 $$
 
-最后令$M[G]=\{\tau/G\mid\tau\in M^\mathbb P\}$，而$(M[G],\in,\tau/G)_{\tau\in M^\mathbb P}$为$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M$的一个力迫扩张结构，一般直接用$M[G]$来表示这个扩张结构。
+最后令$M[G]=\{\tau/G\mid\tau\in M^\mathbb P\}$，而$$(M[G],\in,\tau/G)_{\tau\in M^\mathbb P}$$为$$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M$$的一个力迫扩张结构，一般直接用$M[G]$来表示这个扩张结构。241页（书222页）推论3.3表明如果$M$是$ZFC$的可数模型$M[G]$还是满足如下公理的可数传递模型（听说实际上$M[G]$也是$ZFC$的可数模型，但是好像不是任何公理体系都有类似结论）
+1. 同一性公理（定义$=$）
+2. $\in-$极小原理（其他公理证明容易，这一个的证明见[习题](../集合论习题-第二卷/#推论33)）
+3. 无穷公理
+4. 配对公理（定义$$\{x,y\}$$）
+5. 并集公理
+
+### 力迫关系
+见[符号](#vdash-1)
 ## 一些符号
 ### $\subset_n$
 页数：76页(书57页)<br>
@@ -257,6 +265,19 @@ $$
 (3)它有五个基本逻辑联结符号，同时对于每一个$\alpha < \kappa$，它有长度为$\alpha$的析取联结符号$\bigvee\limits_{\xi < \alpha}$以及合取联结符号$\bigwedge\limits_{\xi < \alpha}$<br>
 (4)对于$1\leq \alpha < \gamma$，它有长度为$\alpha$的量词符号$\exists_{\xi<\alpha}v_{\xi}$和$\forall_{\xi < \alpha}v_{\xi}$<br>
 (5)它的每一个表达式都由上述符号递归地形成
+### $\Vdash$
+设  $M\vDash \mathrm{ZFC}$  是一个可数传递模型,  $\mathbb{P}\in M$  是一个力迫构思.设  $\theta$  为力迫语言  $\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M$  的一个语句,  $p\in P$  为一个力迫条件.定义  
+  
+$$  
+p\Vdash_{\mathbb{P},M}\theta  
+$$  
+  
+当且仅当  
+  
+$\forall G\subset P((p\in G\land G$  是  $\mathbb{P}$  的  $M$  之上的一个泛型滤子)  $\rightarrow M[G]\vDash \theta)$  
+  
+在$M$和$\mathbb{P}$固定的情形下，我们将记号$\Vdash_{\mathbb{P},M}$简写成$\Vdash$，也就是将下标省略掉.表达式$p\Vdash \theta$读作$p$力迫$\theta$<br><br>
+其意味是说，如果你的力迫模型$M[G]$建立于$p$所对应的条件之上，那么$p$所力迫的那些命题，你也必须要满足，这些命题是由条件$p$所要求的。
 ## 一些映射符号
 ### $\operatorname{cl}$
 页数：156页(书137页)<br>