2025-11-21a

Author: passplease

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@@ -1 +1,2 @@
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Chirpy/_posts/2025-08-12-我的集合论问题（第二卷）.md

@@ -157,4 +157,31 @@ $$
 \forall a\in A\left(h_{\alpha}(a) = g_{\alpha}(h(a))\right).
 $$
 
-这样函数序列  $$\langle g_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$  在超积  $$\prod A / D$$  上  $$< _{D}$$  - 严格单调递增并且共尾.所以, $$\operatorname {cf}(D) = \lambda$$
+这样函数序列  $$\langle g_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$  在超积  $$\prod A / D$$  上  $$< _{D}$$  - 严格单调递增并且共尾.所以, $$\operatorname {cf}(D) = \lambda$$
+## 力迫法概念理解
+### 关于滤子
+概念和起因请见[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析/#滤子和稠密开子集)
+
+#### 问题解决
+问题主要是关于为什么滤子可以不在模型$M$中，首先根据定义，$G$应当是$P$的一个子集（滤子的定义），而后我们还知道，$P\in M$是成立的，$M$还满足幂集公理并且传递，那自然，$G$应该属于$M$才对，可是我们也有定理说$\mathbb P-$泛型滤子不在$M$中，这两者难道不是矛盾了？
+
+实际上这个地方不矛盾，关键在于，我们称模型$M$满足幂集公理并不是说真的对于$P\in M$，就有$\mathfrak P(P)\in M$了，严谨的定义是不同的，毕竟如果真的那么要求，除非将全部集合收集起来，不然根本不可能有模型了，而严格的定义依赖于$\vDash$（见[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析/#vdash)），如下
+
+$$
+M\vDash 幂集公理\Longleftrightarrow \forall x\in M\exists y\in M\forall z\in M(z\in y\leftrightarrow z\subseteq x)
+$$
+
+也就是说，我们将我们所论的集合都限制在$M$中了，实际上$M$并没有包括全部的$P$的子集，只不过在我们讨论的$M$当中，我们可以认为其包含了全部的$P$的子集，因为其余的子集根本不在$M$当中，我们没有必要去讨论它。而这样做的结果自然是，在$M$中，$P$的幂集（不妨记作$\mathfrak P^M(P)$）实际上只是$\mathfrak P(P)$的一个子集。自然我们可能找到一个$G$，它实际上从更大的角度来看，是$P$的子集，可以成为一个滤子。可是限制在$M$的视角，它并不在$M$当中。这一切仅仅是起源于我们在定义模型时所加的对表达式的限制。
+
+#### 理解
+对于力迫法来说，很自然，扩张也不能选择已经在$M$当中的滤子，那样引起的[扩张](../集合论第二卷概念辨析/#力迫扩张)，很明显，不可能将我们已有的模型$M$扩大，$M[G]=M$是明显的。可是如果$G\notin M$肯定可以将模型扩张，从而我们就可以得到更大的模型了。
+
+不过这里有一个需要注意的地方，如果我们假设$G_1\subset G_2$都是$M-$泛型滤子，很容易想到$G_2$引起的扩张会更大，也就是相较于$M[G_1]$而言，更多的集合会被包含到$M[G_2]$中去，也就是说这样我们得到的扩张后的模型会更小（集合多了，共性少了）。按理来说是这样，不过需要补充的是这种情况是不可能发生的，这将由下面来说明。
+#### 补充
+对于上面提出的问题我们可以证明，若$G_1,G_2$都是$M-$泛型滤子，则不可能有$G_1^M\subset G_2^M$（上标$M$表示将滤子中的元素限制在$M$当中），如若不然，设$q\in G_2^M\wedge q\notin G_1^M$，那么我们构造下述的稠密开子集 **（如果不使用$G_1^M$和$G_2^M$，这里$D$就不一定在$M$中了）**
+
+$$
+D = \{p\in P\mid(p\leq q\vee p\perp q)\}
+$$
+
+又因为$G_1^M\cap D\neq\varnothing$，不妨设$q\in G_1^M\cap D$，很明显只能$p\perp q$，可是这样的话考虑到$G_1^M\subset G_2^M$，那就有$p\in G_2^M$了，可是$p,q$又相互矛盾，这在滤子中是不可能的，违背定义，所以不可能有$G_1^M\subset G_2^M$。不过如果$G_1$和$G_2$都已经不在$M$当中了（一般都是这样），那么它们本身所含的元素倒是没有受到何种的约束。

Chirpy/_posts/2025-08-23-集合论习题（第二卷）.md

@@ -162,4 +162,24 @@ $$
 根据上述证明记映射$$H(\alpha,k)=\beta<\kappa$$，然后令$$\mu_0=\bigcup\limits_{k\in\mathbb N}\{H(\alpha+1,k)\}<\kappa$$，$$\mu_{j+1}=\bigcup\limits_{k\in\mathbb N}\{H(\mu_j+1,k)\}<\kappa$$。<br><br>
 最后令$$\mu=\bigcup\{\mu_i\}<\kappa$$即为我们所求的“$$\beta$$”
 ### 疑问
-证明中并没有使用到选择公理吧，难道对$$ZF$$也成立？
+证明中并没有使用到选择公理吧，难道对$$ZF$$也成立？
+## 习题3.2
+页数：401页（书382页）(暂时未完成)
+相关概念见[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析/#力迫法)
+### 原题
+设$M$是$ZFC$的一个可数传递模型，令$\mathbb P=((\omega)^{<\omega},\leq,\varnothing)$。证明：存在一个$\mathbb P$的一个滤子$G$以至于没有任何传递集合$N$具备如下特性：
+1. $M\subset N$
+2. $G\in N$
+3. $N\vDash(ZF-幂集公理)$
+4. $Ord\cap M=Ord\cap N$
+
+>注：这个地方的序$\leq$应该不是字典序（逐次比较数字大小），那是没有最大元的，应该是扩展序，比如$(1,2,3)\leq(1,2)$，作为一切的起源$\varnothing$自然也就是最大的。
+
+### 证明
+为了让$N$不存在，也就是要让目标的$N$尽可能地大，以致于不满足第四条，再结合滤子，自然地考虑$\mathbb P-$泛型滤子$G$的力迫扩张$M[G]$，可以递归地证明$M\subseteq M[G]\subseteq N$
+
+首先假设$\forall(\sigma,p)\in\tau(\sigma/G\in N)$，考虑到$N$满足分解原理，故先在$N$中收集所有满足条件的$\sigma$，再使用并集公理取并，即可得到$\tau/G\in N$
+
+假设$Ord\cap M=\alpha$，对于$\forall\beta<\alpha(\check\beta/G=\beta\in N)$，我们考虑名字$\check\alpha=\{(\check\beta,1)\mid\beta<\alpha\}$，明显的，$\check\alpha$就是$\alpha$的名字，也容易发现$\check\alpha/G=\alpha\in M[G]\subseteq N$，从而$\alpha\in N$，可是$\alpha\notin M$，自然第四条就不可能了。再加上$\mathbb P-$泛型滤子一定存在，原命题也自然得证了。
+### 瑕疵
+看起来证明是没什么问题，可是我还是觉得不妥，为什么原命题要强调$N$不满足幂集公理呢，毕竟加上也肯定不可能，不是吗？

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

@@ -59,15 +59,15 @@ $$
 则称$\mathbb P=(P,<)$为力迫构思
 > $P$上的偏序$<$是一个可分偏序当且仅当
 $$
-\forall p\in P\forall q\in P[(p\not\leq q)\to \exists s\leq p(\neg (\exists r\in P(r< s\land r< q)))].
+\forall p\in P\forall q\in P[(p\not\leq q)\to \exists s\leq p(\neg (\exists r\in P(r< s\land r< q)))]
 $$
 
 这里面$\mathbf 1$代表力迫法起始的模型，因为其是最弱的条件
 ### 力迫条件
 对于$\mathbb P$中的元素，每一个都叫一个力迫条件，而如果对于$p,q$有$p<q$，那么我们说条件$p$比条件$q$更强。越小越强则是为了和集合的包含关系做匹配。<br><br>
 同样的，如果说两个条件$p,q$相容，那是说$\exists s(s<p\wedge s<q)$，如果不存在$s$那就是相互冲突（此时记为$p\perp q$）。
-### 滤子
-这个滤子和[第一卷的定义](../posts/冯琦集合论第二章/#滤子)是一样的，如下：<br>
+### 滤子和稠密开子集
+这个滤子和[第一卷的定义](../冯琦集合论第二章/#滤子)是一样的，如下：<br>
 设$\mathbb{P}=(P,<,1)$是一个力迫构思。$P$的一个非空子集$F$是$\mathbb{P}$上的一个滤子当且仅当
 1. $\forall p\in F\forall q\in F\exists r\in F(r\leq p\land r\leq q)$
 2. $\forall p\in F\forall q\in P(p\leq q\rightarrow q\in F)$
@@ -77,16 +77,29 @@ $$
 1. 称$D$是$\mathbb{P}$的稠密子集当且仅当$\forall p\in P\exists q\in D(q\leq p)$
 2. 称$D$是$\mathbb{P}$的一个开子集当且仅当$\forall p\in P\forall q\in P((p\in D\land q\leq p)\to q\in D)$
 
-如果一个子集$\mathcal D$收集了很多稠密开子集，而一个滤子$F$又能与所有$D\in\mathcal D$都有交，就称$F$是$\mathcal D-$泛型滤子。如果是对一个模型$M$，$\mathbb P\in M$，$F$能与所有$D\in M$且是$\mathbb P$的稠密开子集有交，那就称$F$是$M-$泛型滤子。
+如果一个集合$\mathcal D$收集了很多稠密开子集，而一个滤子$F$又能与所有$D\in\mathcal D$都有交，就称$F$是$\mathcal D-$泛型滤子。如果是对一个模型$M$，$\mathbb P\in M$，$F$能与所有$D\in M$且是$\mathbb P$的稠密开子集有交，那就称$F$是$M-$泛型滤子或者简称$\mathbb P-$泛型滤子。<br><br>
+此外关于$\mathbb P-$泛型滤子有定理：如果$M\vDash ZFC$是一个可数传递模型，$\mathbb P\in M$是一个力迫构思，$G\subset P$是一个$M$之上的$\mathbb P-$泛型滤子，那么$G\notin M$。
+>最初我对这部分始终难以理解为什么$G$能不在$M$中，这部分请详见[问题](../我的集合论问题-第二卷/#力迫法概念理解)
+{: .prompt-info }
+
 ### 力迫语言
 力迫名字：<br>
-一个集合$\tau$是一个$\mathbb{P}-$名字当且仅当$\tau$是一个二元关系, 并且对于任意的$(\sigma , p) \in \tau$,$\sigma$也是一个$\mathbb{P}-$名字以及$p\in P$<br><br>
+假设模型$M$，$\mathfrak P\in M$是一个力迫构思。一个集合$\tau$是一个$\mathbb{P}-$名字当且仅当$\tau$是一个二元关系, 并且对于任意的$(\sigma , p) \in \tau$,$\sigma$也是一个$\mathbb{P}-$名字以及$p\in P$<br><br>
 名字中最常使用和出现的我们称之为典型名字，比如：
-1. 对于每一个集合$x$,称名字$\tilde{x}=\{\left(\tilde{y},1\right)\mid y\in x\}$为集合$x$的典型名字,并且用记号$\tilde{x}$来表示集合$x$的典型名字
-2. 令$\dot{G}=\{\left(\tilde{p},p\right)\mid p\in P\}$。称集合$\dot{G}$为力迫构思$\mathbb{P}$的泛型滤子的典型名字
+1. 对于每一个集合$x$,称名字$\check{x}=\{(\check{y},1)\mid y\in x\}$为集合$x$的典型名字,并且用记号$\check{x}$来表示集合$x$的典型名字
+2. 令$\dot{G}=\{(\check{p},p)\mid p\in P\}$。称集合$\dot{G}$为力迫构思$\mathbb{P}-$泛型滤子的典型名字
+
+全体名字的集合我们可以记作$M^\mathbb P$。而力迫语言就是基于这些名字构造出来的，对于一个力迫构思$\mathbb{P}$而言，$\mathbb{P}-$力迫语言，记成$$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$，是由二元关系符号$\in$以及以全体$\mathbb{P}-$名字为常元符号所组成的逻辑表达式的类。换句话说，$\mathbb{P}$力迫语言$$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$恰好由下述集合组成:  $$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$，其中$\phi (\upsilon_{1},\dots ,\upsilon_{n})$是一个彰显自由变元符号的语言$$\mathcal{L}_{\in}$$的表达式，$$\tau_{1},\dots ,\tau_{n}$$是$\mathbb{P}-$名字，$$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$是用这些名字分别替换相应的自由变元符号之后得到的解析表达式，也就是力迫语言的语句。
+### 力迫扩张
+定义了语言之后我们就需要对模型进行扩张了。假设模型$M$，力迫构思$\mathbb P\in M$，$G\subset P$是$M-$泛型滤子。
+
+对于$\tau\in M^\mathbb P$（也就是一个名字）在$G$下的解释，记作$\tau/G$为下述集合
+
+$$
+\tau/G=\{\sigma/G\mid(\exists p\in G((\sigma,p)\in\tau))\}
+$$
 
-而力迫语言就是基于这些名字构造出来的：<br>
-对于一个力迫构思  $\mathbb{P}$  而言,  $\mathbb{P}$  力迫语言, 记成  $$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$  ,是由二元关系符号  $\in$  以及以全体  $\mathbb{P}$ - 名字为常元符号所组成的逻辑表达式的类. 换句话说,  $\mathbb{P}$  力迫语言  $$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}$$  恰好由下述集合组成:  $$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$  ,其中  $\phi (\upsilon_{1},\dots ,\upsilon_{n})$  是一个彰显自由变元符号的语言  $$\mathcal{L}_{\in}$$  的表达式,  $$\tau_{1},\dots ,\tau_{n}$$  是  $\mathbb{P}$ - 名字,  $$\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})$$  是用这些名字分别替换相应的自由变元符号之后得到的解析表达式,也就是力迫语言的语句
+最后令$M[G]=\{\tau/G\mid\tau\in M^\mathbb P\}$，而$(M[G],\in,\tau/G)_{\tau\in M^\mathbb P}$为$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M$的一个力迫扩张结构，一般直接用$M[G]$来表示这个扩张结构。
 ## 一些符号
 ### $\subset_n$
 页数：76页(书57页)<br>
@@ -161,7 +174,7 @@ $$
 ((A,E)\vDash \phi)\leftrightarrow (((A,E),\emptyset)\vDash \phi).
 $$
 
-称  $(A,E)$  为集合的一个结构.当  $E = \{(a,b)\in A\times A\mid a\in b\}$  时,我们直接写成 $(A,\in)$  当  $A$  是一个非空传递集合时,  $T$  是集合论语言的一个理论,并且对于  $T$  中的每一个语句  $\theta$  都有
+称  $(A,E)$  为集合的一个结构.当$$E=\{(a,b)\in A\times A\mid a\in b\}$$时,我们直接写成 $(A,\in)$  当  $A$  是一个非空传递集合时,  $T$  是集合论语言的一个理论,并且对于  $T$  中的每一个语句  $\theta$  都有
 
 $$
 (A,\in)\vDash \theta

Chirpy/_posts/2025-11-21-第二类特征值问题.md

@@ -0,0 +1,70 @@
+---
+title: 广义特征值问题
+author: me
+date: 2025-11-21 12：44：00 +0800
+description: 广义特征值问题相较于一般特征值问题的区别和全新认识
+categories:
+  - 数学
+  - 线性代数
+math: true
+tags:
+  - 数学
+  - 线性代数
+  - 矩阵
+  - 解决的疑问
+  - 全新认识
+  - 旧有知识
+---
+## 起因
+在振动力学课程上，老师向我们讲解多自由度振动系统求解方程时，我学习了通过使用解特征值获得方程的解。不过这里的特征值并不是我线性代数中所学的那种一般的特征值问题，而是属于广义的特征值问题，解的是下面这样的矩阵方程
+
+$$
+\textbf{Ax}=\lambda\textbf{Bx}
+$$
+
+这里的特征值$\lambda$和特征向量$\textbf x$就是对应于这个问题的答案。实际上我们也可以将其变换为普通的特征值问题来求解，也就是变成如下形式
+
+$$
+\textbf B^{-1}\textbf {Ax}=\lambda\textbf x
+$$
+
+也就是求解矩阵$\textbf C=\textbf B^{-1}\textbf A$的特征值和特征向量，而这我们是很容易做到的。不过老师为我们讲解的是另一种方法，也就是直接求解
+
+$$
+(\textbf A-\lambda\textbf B)\textbf x=0
+$$
+
+然后一样的求行列式等于$0$，解出特征值和特征向量，最终解决我们的问题。
+
+但是紧接着我的疑惑出现了，因为老师给我们推导了特征向量满足的关系，那就是（振动力学中$\textbf A$和$\textbf B$都是对称的）
+
+$$
+\begin{cases}
+\textbf x_i^T \textbf A\textbf x_j=0\\
+\textbf x_i^T \textbf B\textbf x_j=0
+\end{cases}
+$$
+
+我就很疑惑，为什么不是
+
+$$
+\textbf x_i^T\textbf x_j=0
+$$
+
+毕竟我们线性代数中学的就是这样的，更何况我们还可以用求$\textbf C$的特征向量的方法来计算，凭什么不正交。后面老师甚至专门强调了中间必须要加权正交，绝对不能不写$\textbf{A}$和$\textbf B$，这就让我更疑惑了，想了好长时间问了老师为什么，老师说是广义特征值问题，说后面会给我们，不过我等不及了，回来搜了一下就完全明白了。
+## 原因
+就搜了一篇[文章](https://blog.csdn.net/SL_World/article/details/106568070)，再AI问了一下，我就知道哪里有问题了，尽管我们确实是可以用下面这个方法求解特征值，但是这并不意味着特征向量正交
+
+$$
+\textbf {Cx}=\lambda\textbf x
+$$
+
+***最重要的原因是，$\textbf C=\textbf B^{-1}\textbf A$不对称！*** 所以它解出来的特征向量也根本不一定正交！这自然就说明了为什么$\textbf x$不正交，而文章中的做法也就是为了避免这种情况，所以将$\textbf B$做了分解才开始移项，也就是先（不过这里实际上要求$\textbf B$是一个对称且正定的矩阵才能分解，而文章中却未提到）
+
+$$
+\textbf B=\textbf G^T\textbf G
+$$
+
+再带入原方程进行移项，保证方程左边是对称矩阵，结果中特征值向量也会从$\textbf x$变成了$\mathbf {Gx}$，而不再是原来的特征向量，特征向量正交也自然是说$\textbf {Gx}$间是正交的，反映到$\textbf x$上，自然就是带权重正交。
+
+理解了这个问题，我也自然理解了为什么施密特正交化的时候也要带权重求向量积，而不是简简单单地不带权重直接分解。