2025-10-20a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-04-10-部分结论记录.md

@@ -96,7 +96,11 @@ $$
 - 任何极限基数都是强极限基数
 - 对任意基数$\kappa$都有$2^{<\kappa}=\kappa$(可从定义出发证明)
 - 奇异基数假设(SCH)成立，即：<br>
-对于任意一个奇异基数$\kappa$而言，如果$2^{\mathbf{cf}(\kappa)}<\kappa$，那么$\kappa^{\mathbf{cf}(\kappa)}=\kappa^+$(这个假设比GCH弱得多，PDF 173页，书173页)
+对于任意一个奇异基数$\kappa$而言，如果$2^{\mathbf{cf}(\kappa)}<\kappa$，那么$\kappa^{\mathbf{cf}(\kappa)}=\kappa^+$(这个假设比GCH弱得多，PDF 173页，书173页)<br>
+
+更强的公理：
+
+- [可构造集合公理](#可构造集合公理)
 
 ### 注
 GCH不是连续统假设CH，CH只是说$2^\omega=\omega_1$，并不能推出GCH成立，有可能CH成立而GCH不成立
@@ -122,15 +126,15 @@ GCH不是连续统假设CH，CH只是说$2^\omega=\omega_1$，并不能推出GCH
 
 马丁公理独立于ZFC公理体系，如果$\mathbf{MA}_{\omega_1}$成立，那么则没有苏斯林树，但是反之不成立。而且马丁公理蕴含$2^{\aleph_1}>\aleph_2$，也即CH假设不成立。
 
-> 一棵树$(T,<)$是一棵苏斯林树当且仅当$\mathrm{ht}(T)=\omega_1$，且$(T,<)$既没有不可数的反链，也没有等高树枝
+> 一棵树$(T,<)$是一棵苏斯林树当且仅当$\mathrm{ht}(T)=\omega_1$（$T$高度是$\omega_1$），且$(T,<)$既没有不可数的反链，也没有等高树枝
 
 而且马丁公理对实数也有影响，第三章中证明了如果$\mathbf{MA}_\kappa$成立，那么实数轴上势不超过$\kappa$个稠密开子集的交还是稠密的。保证了一种很强的交。
 ## 单调递增实数序列
 在正常实数序关系下，我们不能定义一个长度为$\omega_1$、严格单调递增的实数序列。这是因为有理数的稠密性，且是可数的。<br><br>
 如果不然，假设存在长度为$\omega_1$的严格单调递增序列$\langle x_\alpha\rangle$，对于每一个区间，取有理数$q_\alpha\in(x_\alpha,x_{\alpha+1})$，我们就可以得到长度为$\omega_1$的有理数序列，但是显然这是不可能的，所以序列$\langle x_\alpha\rangle$也不可能存在。<br><br>
 当然，最开始我们就强调了，是正常的序关系下，比如如果是实数的某个良序关系下，那我们可以很容易地找出一个单调递增序列来。可是正常序关系下不可以，是因为有理数的稠密性限制了实数序列的长度，有理数就像“标尺”，插在数轴上，限制着实数的长度。<br><br>
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-（以下是第二卷的内容）
+**（以下是第二卷的内容）**
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 ## 哥德尔完备性定理
 页数：91页(书72页)<br><br>
@@ -141,3 +145,6 @@ GCH不是连续统假设CH，CH只是说$2^\omega=\omega_1$，并不能推出GCH
 (2)  $\Gamma$  是一致的当且仅当  $\Gamma$  是可实现的. 因此,  $\mathcal{L}$  的一个理论是一致的当且仅当它有一个模型.
 
 哥德尔完备性定理的证明可以完全在集合论中给出, 但是我们在这里省略证明. 有兴趣的读者可以参看数理逻辑的教科书, 比如《数理逻辑导引》
+## 可构造集合公理
+此公理假设论域中全部集合都是可构造的，即$V=L$，其中$V$表示全体集合组成的论域，$L$则是全体可定义集合组成的论域（可定义集合见[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析/#mathfrak-d)）。<br><br>
+书中定理2.11（PDF 200页，书181页）中说，在$ZFC$下，若$V=L$，则[广义连续统假设](#广义连续统假设)也成立。而且$ZFC$中构造的集合（收集全部可构造集合）$L$也就是这个公理体系的一个模型，根据[哥德尔完备性定理](#哥德尔完备性定理)，其也自然是一致的。

Chirpy/_posts/2025-08-12-我的集合论问题（第二卷）.md

@@ -110,7 +110,6 @@ $$
 $$
 T = \left\{f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \land Z \in \mathcal{Z} \right\}
 $$
-
 由于$$2^{|A|} < \lambda$$,我们有  $$|T| = \lambda$$ . 再度应用  $$\lambda$$ - 共顶特性, 我们可以得到一个具备下述特性的长度为  $$\lambda$$  的  $$< _{I}$$ - 单调递增的序列  $$F = \langle f_{\alpha} \mid \alpha < \lambda \rangle$$ :<br>
 
 $$

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

@@ -112,21 +112,21 @@ $$
 $$
 
 此外，$\prec_\varphi$也就是说仅仅在表达式$\varphi$上有$\mathfrak A,\mathfrak B$真实性相同（可参考108页(书89页)
-### $\mathcal D$
+### $\mathfrak D$
 页数：79页(书60页)<br>
 定义
 
 $$
-\mathcal D(M)=\{A\subset M\mid A是M可以定义的子集\}
+\mathfrak D(M)=\{A\subset M\mid A是M可以定义的子集\}
 $$
 
 其有性质：<br>
 引理1.15 如果  $M$  是一个非空传递集合,那么<br>
-(1)  $(M \cup [M]^{< \omega} \cup \{M\}) \subseteq \mathcal{D}(M)$ ,并且  $\mathcal{D}(M)$  也是一个传递集合<br>
-(2)  $\mathcal{D}(M)$  关于集合的布尔运算封闭,即<br>
- (a)如果  $A \in \mathcal{D}(M)$ ,那么  $(M - A) \in \mathcal{D}(M)$<br>
- (b)如果  $A \in \mathcal{D}(M)$  和  $B \in \mathcal{D}(M)$ ,那么  $(A \cup B) \in \mathcal{D}(M)$  以及  $(A \cap B) \in \mathcal{D}(M)$<br>
-(3)如果  $M$  的幂集存在,那么  $\mathcal{D}(M) \subseteq \mathfrak{P}(M)$<br><br>
+(1)  $(M \cup [M]^{< \omega} \cup \{M\}) \subseteq \mathfrak D(M)$ ,并且  $\mathfrak D(M)$  也是一个传递集合<br>
+(2)  $\mathfrak D(M)$  关于集合的布尔运算封闭,即<br>
+ (a)如果  $A \in \mathfrak D(M)$ ,那么  $(M - A) \in \mathfrak D(M)$<br>
+ (b)如果  $A \in \mathfrak D(M)$  和  $B \in \mathfrak D(M)$ ,那么  $(A \cup B) \in \mathfrak{D}(M)$  以及  $(A \cap B) \in \mathfrak D(M)$<br>
+(3)如果  $M$  的幂集存在,那么  $\mathfrak D(M) \subseteq \mathfrak{P}(M)$<br><br>
 >定义1.30 设  $M$  是一个非空传递集合,  $A \subseteq M$ . 称  $A$  是  $M$  的可定义子集当且仅当
 >
 >$$
@@ -139,4 +139,7 @@ $$
 \exists \phi (x_{0}) (A = \{a \in M \mid \phi^{M}[a]\})
 $$
 
-可定义子集与幂集是不同的，比如对于$\mathcal D(\mathbb N),\mathfrak P(\mathbb N)$，两者肯定不同（即使加上选择公理），因为前者只有可数个，而后者则不可数。原因在于表达式的数量是可数的，所以我们只能定义极少的一部分子集来。
+可定义子集与幂集是不同的，比如对于$\mathfrak D(\mathbb N),\mathfrak P(\mathbb N)$，两者肯定不同（即使加上选择公理），因为前者只有可数个，而后者则不可数。原因在于表达式的数量是可数的，所以我们只能定义极少的一部分子集来。
+## 一些映射符号
+### $\operatorname{cl}$
+$\operatorname{cl}(X)$指对集合$X$的哥德尔集合运算下的闭包，$\operatorname{cl}_J(X)$则是指简朴集合运算下的闭包。