2025-11-13a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-04-19-集合论笔记.md

@@ -72,8 +72,8 @@ $$
 X^0_n=\{f\in X\mid f(n)=0\},X^1_n=\{f\in X\mid f(n)=1\}
 $$
 
-再令$\epsilon_n$满足$X^{\epsilon_n}_{n}\in\mathscr V$<br><br>
-记$Y=\bigcap\limits_{n<\omega}X^{\epsilon_n}_n$，根据$\omega_1$的完全性，$Y\in\mathscr V$，但是，如果$f\in Y$，那么，<br>
+再令$\epsilon_n$满足$$X^{\epsilon_n}_{n}\in\mathscr V$$<br><br>
+记$$Y=\bigcap\limits_{n<\omega}X^{\epsilon_n}_n$$，根据$$\omega_1$$的完全性，$$Y\in\mathscr V$$，但是，如果$$f\in Y$$，那么，<br>
 
 $$
 \forall n\in\omega(f(n)=\epsilon_n)

Chirpy/_posts/2025-04-30-选择公理应用.md

@@ -56,4 +56,9 @@ tags: [数学,集合论,选择公理,笔记]
     *   根据 `M` 是 `F` 中极大元的定义，不存在 `F` 中的其他元素 `B` 使得 `M` 是 `B` 的真子集（`M ⊂ B`）。
     *   这就意味着 `M` 已经是一个**极大反链**了。因为如果它不是极大反链，就说明可以再往里面添加至少一个元素 `z` 形成一个更大的反链 `M ∪ {z}`。而 `M ∪ {z}` 显然也属于我们定义的集合 `F`，并且 `M ⊂ M ∪ {z}`，这就与 `M` 是 `F` 中的极大元相矛盾了。
 
+## 弱化形式
+关于$AC$（选择公理），其还是过于强了，所以会有一些弱化形式，比如可数选择公理、依赖选择公理等。对于可数选择公理自不必说，依赖选择公理（记为$DC$）则是如下定义的：（来自[数学百科](http://www.shuxueji.com/w/82742)）<br><br>
+对于任意非空集合X及任意X上的全关系$R$而言，皆存在有一个X上的序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，使得以下陈述成立：对于任意的${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}而言，{\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$<br><br>
+我们有可数选择公理严格弱于依赖选择公理，又严格弱于选择公理。
+
 [^book]: 冯琦集合论

Chirpy/_posts/2025-05-09-冯琦集合论第二章.md

@@ -163,4 +163,4 @@ Fodor's引理（或下压引理）
 [^wujiebizijilvzi]: 无界闭子集滤子$\mathscr C_\kappa$是在$\kappa$上的一个滤子，$X\subset\kappa(X\in\mathscr C_\kappa\leftrightarrow\exists C\subset X\wedge C是无界闭子集)$
 [^subtractive]: 集合的减法$A-B$，即是集合$$\{x\in A\mid x\notin B\}$$
 [^center]: 对于序数集合$A$，$A'$表示$A$的极限点组成的集合，递归地还有$A''$、$A'''$等等， ~~并且本文中还用$A^{(\alpha)}$来表示取了“$\alpha$”次极限点之后的集合，严谨地：$A^{(\alpha+1)}=(A^{(\alpha)})'$，对于极限序数$\alpha$，定义$A^{(\alpha)}=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}A^{(\beta)}$~~**（我的习惯，但是本文尚未使用）**
-[^keshuzijilixiang]: 记可数子集理想为$$I$$，$$I$$收集了集合中所有可列的子集，也就是说$$X\in I\leftrightarrow |X|\leq\omega$$
+[^keshuzijilixiang]: {% raw %}记可数子集理想为$I$，其收集了集合中所有可列的子集，也就是说$X\in I\leftrightarrow |X|\leq\omega${% endraw %}

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

@@ -12,6 +12,29 @@ tags: [数学,集合论,疑问,笔记]
 表达式，即由项和逻辑连接符$\wedge,\vee,\neg,\rightarrow,\leftrightarrow$连接而成，比如$\forall t_1\forall t_2 t_1=t_2,\exists x_1 F(x_1,x_2,c_1,c_2)$等<br><br>
 语句，一种特殊的表达式，其中不含有自由变元，比如上面的$\forall t_1\forall t_2 t_1=t_2$就是语句，而$\exists x_1 F(x_1,x_2,c_1,c_2)$则不是语句，因为$x_2$是自由变元<br><br>
 理论，语句的一个集合，说明一个理论时还应指定其是针对于哪一个语言的（明确公理等）
+## 谓词
+在集合论中，我们自然会需要将谓词转换为集合论语言，也就是集合或者真类，不过这两者的转换关系如何呢？一般而言，我们定义对于集合或者真类$A$，其对应的谓词$P_A$是如下定义的
+
+$$
+\forall P_A(x)\Longleftrightarrow x\in A
+$$
+
+## 力迫法
+### 力迫构思
+如果偏序集$\mathbb P=(P,<)$满足<br>
+1. $\mathbb{P}$是一个可分偏序
+2. $P$中有一个$\leq$最大元$\mathbf{1}\in P$即$\forall p\in P(p\leq 1)$
+
+则称$\mathbb P=(P,<)$为力迫构思
+> $P$上的偏序$<$是一个可分偏序当且仅当
+$$
+\forall p\in P\forall q\in P[(p\not\leq q)\to \exists s\leq p(\neg (\exists r\in P(r< s\land r< q)))].
+$$
+
+这里面$\mathbf 1$代表力迫法起始的模型，因为其是最弱的条件
+### 力迫条件
+对于$\mathbb P$中的元素，每一个都叫一个力迫条件，而如果对于$p,q$有$p<q$，那么我们说条件$p$比条件$q$更强。越小越强则是为了和集合的包含关系做匹配。<br><br>
+同样的，如果说两个条件$p,q$相容，那是说$\exists s(s<p\wedge s<q)$，如果不存在$s$那就是相互冲突（此时记为$p\perp q$）。
 ## 一些符号
 ### $\subset_n$
 页数：76页(书57页)<br>
@@ -145,7 +168,12 @@ $$
 设$U$是一个一元谓词（要注意**本质上$U$可以是一个类** ，而$U\cap M$一定是集合）,设$M$是一个非空传递集合,$A \subseteq M$称$A$是$M$的在语言$\mathcal{L}_{\in ,U}$下的可定义子集,简称为相对于$U$可定义子集,当且仅当
 
 $$
-\left( \begin{array}{l}{\exists n\in \omega \exists a\in [M]^{n}\exists \phi (x_{0},\dots ,x_{n - 1},x_{n})\in \mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathbb{Z}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\not\in\mathcal{L}_{\in ,U}\right).} \end{array}
+\left(
+\begin{array}{c}
+\exists n\in \omega \exists a\in [M]^{n}\exists \phi (x_{0},\dots ,x_{n - 1},x_{n})\in \mathcal{L}_{\in ,U}来见证下述等式：\\
+(A=\{b\in M\mid (M,\in,U\cap M)\vDash\varphi[a_0,\cdots,a_{n-1},b]\})
+\end{array}
+\right)
 $$
 
 并引入符号