2025-11-02a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-04-10-部分结论记录.md

@@ -68,7 +68,7 @@ $$
 3. 如果$\aleph_\alpha$是一个强极限基数，那么$2^{\aleph_\alpha}=\aleph_\alpha^{\mathbf{cf}(\alpha)}$[(我对这点有怀疑)](../我的集合论问题/#强极限基数性质)，并且对于任意的两个无穷基数$\kappa<\aleph_\alpha,\lambda<\aleph_\alpha$，都有$\kappa^\lambda\leq(\kappa\cdot\lambda)^{\kappa\cdot\lambda}=2^{\kappa\cdot\lambda}<\aleph_\alpha$
 4. 一定是一个极限基数
 
-#### 不可达基数
+## 不可达基数
 证明见[我的练习](../集合论习题/#不可达基数)<br><br>
 设$\kappa$是一个不可达基数
 
@@ -147,4 +147,6 @@ GCH不是连续统假设CH，CH只是说$2^\omega=\omega_1$，并不能推出GCH
 哥德尔完备性定理的证明可以完全在集合论中给出, 但是我们在这里省略证明. 有兴趣的读者可以参看数理逻辑的教科书, 比如《数理逻辑导引》
 ## 可构造集合公理
 此公理假设论域中全部集合都是可构造的，即$V=L$，其中$V$表示全体集合组成的论域，$L$则是全体可定义集合组成的论域（可定义集合见[概念辨析](../集合论第二卷概念辨析/#mathfrak-d)）。<br><br>
-书中定理2.11（PDF 200页，书181页）中说，在$ZFC$下，若$V=L$，则[广义连续统假设](#广义连续统假设)也成立。而且$ZFC$中构造的集合（收集全部可构造集合）$L$也就是这个公理体系的一个模型，根据[哥德尔完备性定理](#哥德尔完备性定理)，其也自然是一致的。
+书中定理2.11（PDF 200页，书181页）中说，在$ZF$下，若$V=L$，则选择公理、[广义连续统假设](#广义连续统假设)也都成立。而且$ZF$中构造的集合（收集全部可构造集合）$L$也就是$V=L$的一个模型，根据[哥德尔完备性定理](#哥德尔完备性定理)，其也自然是一致的。
+## 弱紧基数
+基数$\kappa$是弱紧基数等价于$\kappa$是不可达基数且具有[树特性](../集合论笔记/#树特性)，也等价于[语言](../集合论第二卷概念辨析/#mathcal-l_kappa-gamma)$\mathcal L_{\kappa,\kappa}$具备[弱紧致性](../集合论笔记-第二卷/#紧致性定理)（关于这一点可以参看书定理2.15，PDF 210页，书191页，或本网站[对应文章](../集合论笔记-第二卷/#紧致性定理)）

Chirpy/_posts/2025-04-14-集合论习题.md

@@ -219,7 +219,7 @@ $$
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 ## 非标准自然数
 页数：305页(书285页)<br>
-对于结构$\prod_U\mathbb N$，书中说其秩序部分$W$（$\in^*$为秩序关系的最大截断）就是标准自然数部分$j[\mathbb N]$，这部分保持秩序关系是显然的，可是书中并没有证明其极大性。这里，我就补充一下关于这一点我的证明。<br><br>
+对于结构$\prod_U\mathbb N$，书中说其秩序部分$$W$$（$$\in^*$$为秩序关系的最大截断）就是标准自然数部分$j[\mathbb N]$，这部分保持秩序关系是显然的，可是书中并没有证明其极大性。这里，我就补充一下关于这一点我的证明。<br><br>
 假设还有$[\![f]\!]_U\in W$，而且$f$不同于任何$j[\mathbb N]$，我们来尝试构造出一个无穷降链。<br><br>
 首先，令$f_0=f$。根据引理3.29(1)，我们知道一定有$[\![f_i]\!]_U\in^* [\![c_n]\!]_U$不成立，也就是说
 
@@ -242,5 +242,5 @@ f_i(x)-1\,x\in\bar{A_n}
 \end{cases}
 $$
 
-可以验证，$f_{i+1}$也不是任何的$[\![c_n]\!]_U$，因为除了$k=n$层，对于任何$\{x\in\mathbb N\mid f(x)=k\}$都还是某一个$A_n$。仅仅对$\{x\in\mathbb N\mid f(x)=n\}$层有变化，可是这一层也恰好是$(A_{n+1}\cup A_n)\in U$。从而确保$f_{i+1}$不是任何的$[\![c_n]\!]_U$。<br><br>
-而对于序列$\langle f_i\rangle$就是一个无穷降链，所以标准自然数部分$j[\mathbb N]$就是极大的秩序截断了，命题得证。
+可以验证，$f_{i+1}$也不是任何的$$[\![c_n]\!]_U$$，因为除了$$k=n$$层，对于任何$$\{x\in\mathbb N\mid f(x)=k\}$$都还是某一个$$A_n$$。仅仅对$$\{x\in\mathbb N\mid f(x)=n\}$$层有变化，可是这一层也恰好是$$(A_{n+1}\cup A_n)\in U$$。从而确保$$f_{i+1}$$不是任何的$$[\![c_n]\!]_U$$。<br><br>
+而对于序列$$\langle f_i\rangle$$就是一个无穷降链，所以标准自然数部分$$j[\mathbb N]$$就是极大的秩序截断了，命题得证。

Chirpy/_posts/2025-04-19-集合论笔记.md

@@ -225,6 +225,8 @@ $$，而集合 \eqref{eq:定义2.29} $$A=\{\alpha<\kappa\mid g(\alpha)\geq f(\al
 这部分主要对应214-215页（书193-194页）关于树特性的内容
 ### 树特性
 称一个正则基数$\kappa$具有树特性当且仅当如果 $(T,<)$ 是一棵高度为$\kappa$的树，并且$(T,<)$的每一层$T_\alpha$之势都小于$\kappa$，那么$(T,<)$一定有一根等高树枝
+>值得注意的是，奇异基数一定不满足树特性
+{: .prompt-info }
 ### $\omega_1$为什么不满足树特性
 #### Aronszajn树
 证明递归地构造树$(\omega^{<\omega_1},<)$的一棵子树$(T,<)$的层次序列$\langle T_\alpha\mid \alpha<\omega_1\rangle$以期每一层$T_\alpha$都满足下述要求：<br><br>
@@ -358,7 +360,7 @@ $$
 距离空间：存在空间上的距离函数<br>
 距离函数：<br>
 设$(X,\tau)$为一个拓扑空间.称拓扑空间$(X,\tau)$是可距离化的当且仅当存在一个具备下述三条基本性质的从$X^2$到$$\mathbb R^+\cup \{0\}$$上的映射$d$（称$d$为其上的距离函数）<br>
-(1)$\forall x\in X\forall y\in X((d(x,y)\geq 0)\wedge(d(x,y)=0\rightleftarrow x=y))$<br>
+(1)$\forall x\in X\forall y\in X((d(x,y)\geq 0)\wedge(d(x,y)=0\leftrightarrow x=y))$<br>
 (2)$\forall x\in X\forall y\in X(d(x,y)=d(y,x))$<br>
 (3)$\forall x\in X\forall y\in X\forall z\in X(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z))$
 

Chirpy/_posts/2025-08-05-集合论笔记（第二卷）.md

@@ -215,4 +215,16 @@ $$
 首先，为什么可以这样构造，这个很简单，使用斯科伦函数构造斯科伦闭包（一定存在，这个意思是用给定的可数个集合一步步套[可定义集合](../集合论第二卷概念辨析/#mathfrak-d)，最终套出来的模型）。其次，这个模型不仅仅构造出来就可以，它还满足一些基本的性质，而这些性质对我们后面的映射至关重要。最主要的，这样构造出来的模型一定是可数的大小，从而必定不含有不可数个的序数，从而$M\cap\omega_1=\alpha<\omega_1$（自然，这个$\alpha$是一个极限序数，原因上面说过了），也就是说如果进行映射（压缩），$\omega_1$下面缺少了很多的序数，其必定塌缩下来到可数的地位。而且由于可数，最终凝聚化映射所映射到的也一定是一个可数层的$L_\beta$。
 #### $M$压缩到可数层
 这一步可以说是最最关键的一步了，这里我们先考虑映射后的情况，由于$M$的性质，映射到的一定是一个可数极限序数$\beta$对应的层$L_\beta$，又由于两者是$\in$关系上同构的，我们来考虑为什么$\omega_1$只能映射到$\alpha$，其他的集合映射也是相同的道理，只不过$\omega_1$相对更好理解一些。如果$\omega_1$映射到大于$\alpha$的序数，可是$\alpha$是属于$L_\beta$的，也就是说在属于关系上，$M$也应该再找一个序数出来顶替$\alpha$的位置（也就是映射上去），可是我们已经说过了，由$\alpha$的定义，不可能还有哪个$M$中的序数能出来顶替这个位置，所以$\omega_1$只能映射到$\alpha$。同样地去考虑其他的集合，各种其他的集合也自然而然地只能映射到那种截断上了。不过还有另一种理解方法，注意到我们构造$M$使用的是可数步的斯科伦函数闭包构造，能构造出来的东西肯定也不会有超过$\omega_1$的复杂度，对于我们在证明中构造出来的一大堆$\omega_1$层的结构，我们也不可能真的能在$M$中找到那样复杂的东西，只能找到在某一步可数层就截断了的残余，所以其他各种集合也只能是可数步就消失不再递归了。<br><br>
-接下来我认为需要说明的是为什么这种压缩是可行的，很明显，这两个证明都十分地依赖于将$\omega_1$压缩到可数序数$\alpha$，而这正依赖于模型$M$仅仅是可数大小，这意味着它没有超高的复杂度（只需要可数的构造步数就能构造出来，所以自然在模型$L_{\omega_1}$中能找到一个可数层数装下它的全部），我们一定可以将它压缩到一个可数序数，同时其内部的全部结构也压缩到可数级别，这一切都是因为凝聚化引理中的$X$（也是这里的$M$）内部只有可数的复杂度，其一定是可以向下压缩，减去其中的各种空隙（比如$\alpha$和$\omega_1$中的空隙），当作传递模型考虑的。
+接下来我认为需要说明的是为什么这种压缩是可行的，很明显，这两个证明都十分地依赖于将$\omega_1$压缩到可数序数$\alpha$，而这正依赖于模型$M$仅仅是可数大小，这意味着它没有超高的复杂度（只需要可数的构造步数就能构造出来，所以自然在模型$L_{\omega_1}$中能找到一个可数层数装下它的全部），我们一定可以将它压缩到一个可数序数，同时其内部的全部结构也压缩到可数级别，这一切都是因为凝聚化引理中的$X$（也是这里的$M$）内部只有可数的复杂度，其一定是可以向下压缩，减去其中的各种空隙（比如$\alpha$和$\omega_1$中的空隙），当作传递模型考虑的。
+## 紧致性定理
+页数：209页(书190页)
+### 定义
+[语言](../集合论第二卷概念辨析/#mathcal-l_kappa-gamma)$\mathcal L_{\kappa ,\kappa}$(或者$\mathcal L_{\kappa ,\omega}$)具备弱紧致性定理当且仅当如果$\Sigma$是语言$\mathcal L_{\kappa ,\kappa}$(或者$\mathcal L_{\kappa ,\omega}$ )的一个势不超过$\kappa$的语句集合,那么$\Sigma$有一个模型的充分必要条件是它的每一个势严格小于$\kappa$的子集合都有一个模型<br><br>
+### 定理2.15
+定理2.15 (1)如果$\kappa$是一个弱紧基数,那么语言$\mathcal L_{\kappa ,\kappa}$具备弱紧致性定理<br>
+(2)如果$\kappa$是一个不可达基数,并且语言$\mathcal L_{\kappa ,\omega}$具备弱紧致性定理,那么  $\kappa$一定是一个弱紧基数<br>
+> 补充1：<br>
+> （这部分书中没有，是我自己搜索到的）<br>
+> $\kappa$是一个弱紧基数等价于语言$\mathcal L_{\kappa,\kappa}$是弱紧的（不需要补充条件$\kappa$是不可达基数）<br><br>
+> 补充2：<br>
+> 研读书中的证明后，我认为，证明(1)只需要使用$\kappa$的树特性和强极限基数性质，没有直接使用正则性（不过树特性依赖于正则性），而(2)实际上只能推出$\kappa$具备树特性，这是因为语言$\mathcal L_{\kappa,\omega}$太弱了，如果只是$\mathcal L_{\kappa,\omega}$弱紧，我认为其应该等价于$\kappa$具有树特性，因为强极限性质也不需要了，语句只有有限长，不必使用强极限性质来满足树特性的前提条件（但是没有证明）。