|
84 | 84 | 包括等号也可以应用这种“简化”，因为只要里面的这些符号映射到的集合不同，则整体映射到的集合也不同，简化应当不会对我们要讨论的东西有任何影响。 |
85 | 85 | ## 哥德尔完备性定理 |
86 | 86 | 定理内容见[结论记录](../部分结论记录/#哥德尔完备性定理)<br><br> |
87 | | -比如$ZF$公理体系内无法证明$ZF$自身的一致性，而定理则说一个理论是一致的等价于其存在一个模型。那$ZF$无法证明自身的一致性是不是意味着我们不能够在$ZF$公理体系内找到一个$ZF$的模型$(A,E)$（见[$\vDash$](../集合论第二卷概念辨析/#vdash)）。<br><br> |
88 | | -更一般地，我们是不是可以不局限于$ZF$体系，只需要这个公理体系不能够证明自身一致性即可？然后这个公理体系内也就不能找到一个自己的模型？我认为答案应该是肯定的。 |
| 87 | +比如$ZF$公理体系内无法证明$ZF$自身的一致性，而定理则说一个理论是一致的等价于其存在一个模型。那$ZF$无法证明自身的一致性是不是意味着我们不能够在$ZF$公理体系内找到一个$ZF$的模型$(A,E)$（见$\vDash$[(点击此处跳转)](../集合论第二卷概念辨析/#vdash)）。<br><br> |
| 88 | +更一般地，我们是不是可以不局限于$ZF$体系，只需要这个公理体系不能够证明自身一致性即可？然后这个公理体系内也就不能找到一个自己的模型？我认为答案应该是肯定的。 |
| 89 | +## 推论1.8证明 |
| 90 | +页数：121页(书102页) |
| 91 | +### 书中内容 |
| 92 | +推论1.8(共顶三选一引理)设 $A$ 是一个无穷集合, $I$ 是 $A$ 上的一个理想.设 $\lambda >2^{|A|}$ 是一个正则基数.对于 $a\in A$ 令 $\gamma_{a} > 0$ 为一个极限序数<br><br> |
| 93 | +假设偏序集 $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$ 是 $\lambda$ - 共顶的.那么下述三种情形之一必然成立:<br> |
| 94 | +(a)偏序集 $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$ 是 $\lambda^{+}$ -共顶的;<br> |
| 95 | +(b)偏序集 $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$ 有一根 $\lambda$ -标尺;<br> |
| 96 | +(c) $I^{+}$ 中有两个元素 $X$ 与 $Y$ 来实现下述目标: $A = X\cup Y$ ;相对于 $X$ 而言,偏序集 $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$ 有一根 $\lambda$ -标尺,并且相对于 $Y$ 而言,偏序集 $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$ 是 $\lambda^{+}$ -共顶的<br><br> |
| 97 | +证明 假设偏序集 $\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$ 是 $\lambda$ - 共顶的,但不是 $\lambda^{+}$ - 共顶的<br><br> |
| 98 | +设 $S\subset \prod_{a\in A}\gamma_{a}$ 是一个势为 $\lambda$ 的没有共同上界的集合.应用 $\lambda$ - 共顶特性,递归地,我们构造一个具备下述特性的长度为 $\lambda$ 的 $< _{I}$ - 单调递增的序列 $F = \langle f_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$ |
| 99 | + |
| 100 | +$$ |
| 101 | +\forall f\in S\exists \alpha < \lambda (f< _{I}f_{\alpha}). |
| 102 | +$$ |
| 103 | + |
| 104 | +具体构造如下:令 $S = \langle h_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$ 以及对于 $\alpha < \lambda$ 令 $S_{\alpha} = \{h_{\beta}\mid \beta \leqslant \alpha \}$ ,从而 $|S_{\alpha}|< \lambda$ 令 $f_{0}\in \prod_{a\in A}\gamma_{a}$ 满足要求 $h_{0}< _{I}f_{0}$ ,现在假设 $F\mid_{\gamma}\left(\gamma < \lambda\right)$ 已经定义好.令 $T_{\alpha} = S_{\alpha}\cup \{f_{\alpha}\mid \alpha < \gamma \}$ .那么 $|T|< \lambda$ 根据 $\lambda$ - 共顶特性,令 $f_{\gamma}\in \prod_{a\in A}\gamma_{a}$ 为具备后述特点的函数: $\forall h\in T\left(h< _{I}f_{\gamma}\right)$ .这就完成了递归定义.最后, $F = \langle f_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$ 就是所要的.由于 $F$ 在 $\prod_{a\in A}\gamma_{a}$ 中并无上界,必然存在一个 $Z\in I^{+}$ 以至于相对 $Z$ 而言, $F$ 是一个长度为 $\lambda$ 的标尺序列<br><br> |
| 105 | +令 $Z = \{Z\in I^{+}\mid Z$ 上有一个长为 $\lambda$ 的标尺 $\}$<br><br> |
| 106 | +对于每一个 $Z \in \mathcal{Z}$ , 令 $\langle f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \rangle$ 为 $Z$ 上的一根标尺. 令 |
| 107 | + |
| 108 | +$$ |
| 109 | +T = \left\{f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \land Z \in \mathcal{Z} \right\} . |
| 110 | +$$ |
| 111 | + |
| 112 | +由于 $2^{|A|} < \lambda$ , 我们有 $|T| = \lambda$ . 再度应用 $\lambda$ - 共顶特性, 我们可以得到一个具备下述特性的长度为 $\lambda$ 的 $< _{I}$ - 单调递增的序列 $F = \langle f_{\alpha} \mid \alpha < \lambda \rangle$ : |
| 113 | + |
| 114 | +$$ |
| 115 | +\forall f \in T \exists \alpha < \lambda \left(f \leqslant_{I} f_{\alpha}\right). |
| 116 | +$$ |
| 117 | + |
| 118 | +这样, 或者 $F$ 是一个标尺, 或者 $A = X \cup Y$ 以至于 $F$ 在 $X$ 上有界, 而在 $Y$ 上共尾. 现在假设第二种情形发生. 我们来证明相对于 $X$ 而言, 偏序集 $\left(\prod_{a \in A} \gamma_{a}, < _{I}\right)$ 是 $\lambda^{+}$ - 共顶的. 如果存在一个势为 $\lambda$ 但是在 $X$ 上没有共同上界的 $S \subset \prod_{a \in A} \gamma_{a}$ , 那么重复上面的讨论就可以得到一个 $Z \subset X$ 以至于 $Z$ 上有一个长度为 $\lambda$ 的标尺. 这与 $F$ 在 $X$ 上有界相矛盾 |
| 119 | +### 疑问 |
| 120 | +证明中如下部分 |
| 121 | +>由于 $F$ 在 $\prod_{a\in A}\gamma_{a}$ 中并无上界,必然存在一个 $Z\in I^{+}$ 以至于相对 $Z$ 而言, $F$ 是一个长度为 $\lambda$ 的标尺序列. |
| 122 | +
|
| 123 | +为什么一定存在这样的$Z$，而且如果$F$要成为标尺序列，自然得对任意的$g\in \prod_{a\in A}\gamma_{a}$都有一个$f\in F$，使得$f,g$有序关系，再考虑到不是所有理想$I$都能与某个$Z$一起生成变成[素理想](../冯琦集合论第二章/#理想)的，所以如何保证这样的$Z$是存在的呢。<br><br> |
| 124 | +即使真的都有这样的$Z$可以保证序关系存在，又是怎么确保满足证明中要求的其他条件的呢，很容易觉得会使用书中前面提到的共尾三选一引理，可是那个引理要求$F$是有上界的，但是这里的$F$则是无界的，所以用不了。就算我们对$F$在序数$\alpha$处做截断$F_\alpha$，然后取其对应的$Z_\alpha$，最后将全部$Z_\alpha$求交得到$Z$，应当能够满足证明要求的条件。可是如此数量的交可能是空集，即使任何有限部分交都不为空。当然，交集为空可以通过[对角线交](../冯琦集合论第二章/#对角线交并)并保证各个截断对应的$Y_\alpha$相互为子集合（这样对角线交就不为空）来避免。尽管这样可以完成证明，可是问题仍然会出现在是否能保证$f,g$有关系上，整个证明也依赖于这一点。<br><br> |
| 125 | +此外我还尝试了通过对$g$最大函数值进行递归的方法证明$f,g$有关系，可是递归第一步就无法进行，而且仍然卡死在所有$f$都和递归的下一个$g'$没有序关系上。<br><br> |
| 126 | +还有我觉得这部分 |
| 127 | +>这样, 或者 $F$ 是一个标尺, 或者 $A = X \cup Y$ 以至于 $F$ 在 $X$ 上有界, 而在 $Y$ 上共尾 |
| 128 | +
|
| 129 | +也基于和上面同样的思路，都依赖于共尾三选一引理。**可是引理条件都不满足啊！** |
| 130 | +> 折腾8个小时后，我突然有了一个思路，如果将原本无界的$F$从$\prod_{a\in A}\gamma_a,<_I$提升到$\prod_{a\in A}{\gamma_a+1},<_I$，$F$不就有界了？是不是就可以用引理了？ |
| 131 | +{: .prompt-info } |
0 commit comments