2025-09-29a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-08-12-我的集合论问题（第二卷）.md

@@ -88,48 +88,74 @@ $$
 更一般地，我们是不是可以不局限于$$ZF$$体系，只需要这个公理体系不能够证明自身一致性即可？然后这个公理体系内也就不能找到一个自己的模型？我认为答案应该是肯定的。
 ## 推论1.8证明
 - [x] 已解决，见[解决方案](#解决方案)<br><br>
+
 页数：121页(书102页)
 ### 书中内容
 推论1.8(共顶三选一引理)设  $$A$$  是一个无穷集合,  $$I$$  是  $$A$$  上的一个理想.设 $$\lambda >2^{|A|}$$  是一个正则基数.对于  $$a\in A$$  令  $$\gamma_{a} > 0$$  为一个极限序数<br><br>
-假设偏序集  $$\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$$  是 $$\lambda$$-共顶的.那么下述三种情形之一必然成立:<br>
-(a)偏序集  $$\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$$  是  $$\lambda^{+}$$  -共顶的;<br>
-(b)偏序集  $$\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$$  有一根  $$\lambda$$  -标尺;<br>
-(c)  $$I^{+}$$  中有两个元素  $$X$$  与  $$Y$$  来实现下述目标:  $$A = X\cup Y$$  ;相对于  $$X$$  而言,偏序集  $$\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$$  有一根  $$\lambda$$  -标尺,并且相对于  $$Y$$  而言,偏序集  $$\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$$  是 $$\lambda^{+}$$  -共顶的<br><br>
-证明：假设偏序集  $$\left(\prod_{a\in A}\gamma_{a},< _{I}\right)$$  是  $$\lambda$$  - 共顶的,但不是  $$\lambda^{+}$$  - 共顶的<br><br>
-设  $$S\subset \prod_{a\in A}\gamma_{a}$$  是一个势为  $$\lambda$$  的没有共同上界的集合.应用  $$\lambda$$  - 共顶特性,递归地,我们构造一个具备下述特性的长度为  $$\lambda$$  的  $$< _{I}$$  - 单调递增的序列  $$F = \langle f_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$
+假设偏序集  $$\left(\prod\limits_{a\in A}\gamma_a,< _{I}\right)$$  是 $$\lambda$$-共顶的.那么下述三种情形之一必然成立:<br>
+(a)偏序集  $$\left(\prod\limits_{a\in A}\gamma_a,< _{I}\right)$$  是  $$\lambda^{+}$$  -共顶的;<br>
+(b)偏序集  $$\left(\prod\limits_{a\in A}\gamma_a,< _{I}\right)$$  有一根  $$\lambda$$  -标尺;<br>
+(c)  $$I^{+}$$  中有两个元素  $$X$$  与  $$Y$$  来实现下述目标:  $$A = X\cup Y$$  ;相对于  $$X$$  而言,偏序集  $$\left(\prod\limits_{a\in A}\gamma_a,< _{I}\right)$$  有一根  $$\lambda$$  -标尺,并且相对于  $$Y$$  而言,偏序集  $$\left(\prod\limits_{a\in A}\gamma_a,< _{I}\right)$$  是 $$\lambda^{+}$$  -共顶的<br><br>
+证明：假设偏序集  $$\left(\prod\limits_{a\in A}\gamma_a,< _{I}\right)$$  是  $$\lambda$$  - 共顶的,但不是  $$\lambda^{+}$$  - 共顶的<br><br>
+设  $$S\subset \prod\limits_{a\in A}\gamma_a$$  是一个势为  $$\lambda$$  的没有共同上界的集合.应用  $$\lambda$$  - 共顶特性,递归地,我们构造一个具备下述特性的长度为  $$\lambda$$  的  $$< _{I}$$  - 单调递增的序列  $$F = \langle f_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$
 
 $$
 \forall f\in S\exists \alpha < \lambda (f< _{I}f_{\alpha}).
 $$
 
-具体构造如下:令  $$S = \langle h_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$  以及对于  $$\alpha < \lambda$$  令  $$S_{\alpha} = \{h_{\beta}\mid \beta \leqslant \alpha \}$$  ,从而 $$|S_{\alpha}|< \lambda$$  令  $$f_{0}\in \prod_{a\in A}\gamma_{a}$$  满足要求  $$h_{0}< _{I}f_{0}$$  ,现在假设  $$F\mid_{\gamma}\left(\gamma < \lambda\right)$$  已经定义好.令  $$T_{\alpha} = S_{\alpha}\cup \{f_{\alpha}\mid \alpha < \gamma \}$$  .那么  $$|T|< \lambda$$  根据  $$\lambda$$  - 共顶特性,令  $$f_{\gamma}\in \prod_{a\in A}\gamma_{a}$$  为具备后述特点的函数:  $$\forall h\in T\left(h< _{I}f_{\gamma}\right)$$  .这就完成了递归定义.最后,  $$F = \langle f_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$  就是所要的.由于  $$F$$  在  $$\prod_{a\in A}\gamma_{a}$$  中并无上界,必然存在一个  $$Z\in I^{+}$$  以至于相对  $$Z$$  而言,  $$F$$  是一个长度为  $$\lambda$$  的标尺序列<br><br>
+具体构造如下:令  $$S = \langle h_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$  以及对于  $$\alpha < \lambda$$  令  $$S_{\alpha} = \{h_{\beta}\mid \beta \leqslant \alpha \}$$  ,从而 $$|S_{\alpha}|< \lambda$$  令  $$f_{0}\in \prod\limits_{a\in A}\gamma_a$$  满足要求  $$h_{0}< _{I}f_{0}$$  ,现在假设  $$F\mid_{\gamma}\left(\gamma < \lambda\right)$$  已经定义好.令  $$T_{\alpha} = S_{\alpha}\cup \{f_{\alpha}\mid \alpha < \gamma \}$$  .那么  $$|T|< \lambda$$  根据  $$\lambda$$  - 共顶特性,令  $$f_{\gamma}\in \prod\limits_{a\in A}\gamma_a$$  为具备后述特点的函数:  $$\forall h\in T\left(h< _{I}f_{\gamma}\right)$$  .这就完成了递归定义.最后,  $$F = \langle f_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$  就是所要的.由于  $$F$$  在  $$\prod\limits_{a\in A}\gamma_a$$  中并无上界,必然存在一个  $$Z\in I^{+}$$  以至于相对  $$Z$$  而言,  $$F$$  是一个长度为  $$\lambda$$  的标尺序列<br><br>
 令  $$Z = \{Z\in I^{+}\mid Z$$  上有一个长为  $$\lambda$$  的标尺  $$\}$$<br><br>
 对于每一个  $$Z \in \mathcal{Z}$$ , 令  $$\langle f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \rangle$$  为  $$Z$$  上的一根标尺. 令
 
 $$
 T = \left\{f_{\alpha}^{Z} \mid \alpha < \lambda \land Z \in \mathcal{Z} \right\}
 $$
 
-由于$$2^{|A|} < \lambda$$,我们有  $$|T| = \lambda$$ . 再度应用  $$\lambda$$ - 共顶特性, 我们可以得到一个具备下述特性的长度为  $$\lambda$$  的  $$< _{I}$$ - 单调递增的序列  $$F = \langle f_{\alpha} \mid \alpha < \lambda \rangle$$ :
+由于$$2^{|A|} < \lambda$$,我们有  $$|T| = \lambda$$ . 再度应用  $$\lambda$$ - 共顶特性, 我们可以得到一个具备下述特性的长度为  $$\lambda$$  的  $$< _{I}$$ - 单调递增的序列  $$F = \langle f_{\alpha} \mid \alpha < \lambda \rangle$$ :<br>
 
 $$
 \forall f \in T \exists \alpha < \lambda \left(f \leqslant_{I} f_{\alpha}\right).
 $$
 
-这样, 或者  $$F$$  是一个标尺, 或者  $$A = X \cup Y$$  以至于  $$F$$  在  $$X$$  上有界, 而在  $$Y$$  上共尾. 现在假设第二种情形发生. 我们来证明相对于  $$X$$  而言, 偏序集  $$\left(\prod_{a \in A} \gamma_{a}, < _{I}\right)$$  是  $$\lambda^{+}$$ - 共顶的. 如果存在一个势为  $$\lambda$$  但是在  $$X$$  上没有共同上界的  $$S \subset \prod_{a \in A} \gamma_{a}$$ , 那么重复上面的讨论就可以得到一个  $$Z \subset X$$  以至于  $$Z$$  上有一个长度为  $$\lambda$$  的标尺. 这与  $$F$$  在  $$X$$  上有界相矛盾
+这样, 或者  $$F$$  是一个标尺, 或者  $$A = X \cup Y$$  以至于  $$F$$  在  $$X$$  上有界, 而在  $$Y$$  上共尾. 现在假设第二种情形发生. 我们来证明相对于  $$X$$  而言, 偏序集  $$\left(\prod\limits_{a\in A}\gamma_a, < _{I}\right)$$  是  $$\lambda^{+}$$ - 共顶的. 如果存在一个势为  $$\lambda$$  但是在  $$X$$  上没有共同上界的  $$S \subset \prod\limits_{a\in A}\gamma_a$$ , 那么重复上面的讨论就可以得到一个  $$Z \subset X$$  以至于  $$Z$$  上有一个长度为  $$\lambda$$  的标尺. 这与  $$F$$  在  $$X$$  上有界相矛盾
 ### 疑问
 证明中如下部分
->由于  $$F$$  在  $$\prod_{a\in A}\gamma_{a}$$  中并无上界,必然存在一个  $$Z\in I^{+}$$  以至于相对  $$Z$$  而言,  $$F$$  是一个长度为  $$\lambda$$  的标尺序列.
+>由于  $$F$$  在  $$\prod\limits_{a\in A}\gamma_a$$  中并无上界,必然存在一个  $$Z\in I^{+}$$  以至于相对  $$Z$$  而言,  $$F$$  是一个长度为  $$\lambda$$  的标尺序列.
 
-为什么一定存在这样的$$Z$$，而且如果$$F$$要成为标尺序列，自然得对任意的$$g\in \prod_{a\in A}\gamma_{a}$$都有一个$$f\in F$$，使得$$f,g$$有序关系，再考虑到不是所有理想$$I$$都能与某个$$Z$$一起生成变成[素理想](../冯琦集合论第二章/#理想)的，所以如何保证这样的$$Z$$是存在的呢。<br><br>
+为什么一定存在这样的$$Z$$，而且如果$$F$$要成为标尺序列，自然得对任意的$$g\in \prod\limits_{a\in A}\gamma_a$$都有一个$$f\in F$$，使得$$f,g$$有序关系，再考虑到不是所有理想$$I$$都能与某个$$Z$$一起生成变成[素理想](../冯琦集合论第二章/#理想)的，所以如何保证这样的$$Z$$是存在的呢。<br><br>
 即使真的都有这样的$$Z$$可以保证序关系存在，又是怎么确保满足证明中要求的其他条件的呢，很容易觉得会使用书中前面提到的共尾三选一引理，可是那个引理要求$$F$$是有上界的，但是这里的$$F$$则是无界的，所以用不了。就算我们对$$F$$在序数$$\alpha$$处做截断$$F_\alpha$$，然后取其对应的$$Z_\alpha$$，最后将全部$$Z_\alpha$$求交得到$$Z$$，应当能够满足证明要求的条件。可是如此数量的交可能是空集，即使任何有限部分交都不为空。当然，交集为空可以通过[对角线交](../冯琦集合论第二章/#对角线交并)并保证各个截断对应的$$Y_\alpha$$相互为子集合（这样对角线交就不为空）来避免。尽管这样可以完成证明，可是问题仍然会出现在是否能保证$$f,g$$有关系上，整个证明也依赖于这一点。<br><br>
 此外我还尝试了通过对$$g$$最大函数值进行递归的方法证明$$f,g$$有关系，可是递归第一步就无法进行，而且仍然卡死在所有$$f$$都和递归的下一个$$g'$$没有序关系上。<br><br>
 还有我觉得这部分
 >这样, 或者  $$F$$  是一个标尺, 或者  $$A = X \cup Y$$  以至于  $$F$$  在  $$X$$  上有界, 而在  $$Y$$  上共尾
 
 也基于和上面同样的思路，都依赖于共尾三选一引理。**可是引理条件都不满足啊！**
 ### 解决方案
-> 折腾8个小时后，我突然有了一个思路，如果将原本无界的$$F$$从$$\prod_{a\in A}\gamma_a,<_I$$提升到$$\prod_{a\in A}{\gamma_a+1},<_I$$，$$F$$不就有界了？是不是就可以用引理了？
+> 折腾8个小时后，我突然有了一个思路，如果将原本无界的$$F$$从$$\prod_{a\in A}\gamma_a,<_I$$提升到$$\prod_{a\in A}{(\gamma_a+1)},<_I$$，$$F$$不就有界了？是不是就可以用引理了？
 {: .prompt-info }
 
-不过即使找到了这个问题的答案，我仍然觉得不满足，那为什么一定不存在$$g$$和序列$$F$$中每一个$$f$$都不存在序关系呢，对于这部分请见[笔记](../集合论笔记-第二卷/#共尾子集)
+不过即使找到了这个问题的答案，我仍然觉得不满足，那为什么一定不存在$$g$$和序列$$F$$中每一个$$f$$都不存在序关系呢，对于这部分请见[笔记](../集合论笔记-第二卷/#共尾子集)
+## 引理1.25
+页数：127页(书108页)<br><br>
+>完全没有看懂证明
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+引理1.25 设  $A$  是正则基数的一个无穷区间, 并且  $\min (A) = \left(2^{|A|}\right)^{+}$ , 那么  $\operatorname {pcf}(A)$  也是一个区间.
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+证明 设  $U$  是  $A$  上的一个超滤子. 设  $\lambda$  为一个满足不等式要求  $\min (A) \leqslant \lambda < \operatorname {cf}(U)$  的正则基数. 我们来寻找一个  $A$  上的超滤子  $D$  以实现等式  $\operatorname {pcf}(D) = \lambda$ .
+
+令  $\langle f_{\alpha} \mid \alpha < \operatorname {pcf}(U)\rangle$  为  $\prod A$  的一个  $U$ - 严格单调递增的函数序列. 由于  $\lambda > 2^{|A|}$ , 根据引理1.22, 这个序列有一个在序  $\leqslant D$  之下的最小上界  $g$ . 对于每一个  $a \in A$ ,
+
+令  $h(a) = \operatorname {cf}(g(a))$  ,以及令  $S_{a}\subset g(a)$  为一个序型为  $h(a)$  的无界闭集,那么超积  $\prod_{a\in A}S_{a} / U$  中包含了一个长度为  $\lambda$  并且在  $g$  之下共尾的  $< _{D}$  - 严格单调递增的序列.因此,超积  $\prod_{a\in A}h(a) / U$  就有一个长度为  $\lambda$  的  $< _{U}$  - 严格单调递增的共尾序列 $\langle h_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$
+
+因为集合  $\left(2^{|A|}\right)^{A}$  的势严格小于  $\lambda$  集合  $\left\{a\in A\mid h(a) > 2^{|A|}\right\} \in U.$  基于这一事实,我们不妨假设  $\forall a\in A(h(a)\in A)$  .利用这个  $h$  如下定义  $A$  上的超滤于  $D$  :
+
+$$
+D = \left\{X\subseteq A\mid h^{-1}[X]\in U\right\} .
+$$
+
+对于  $\alpha < \lambda$  令  $g_{\alpha}:A\to \bigcup A$  为  $A$  上的一个选择函数,并且满足下列等式要求:
+
+$$
+\forall a\in A\left(h_{\alpha}(a) = g_{\alpha}(h(a))\right).
+$$
+
+这样函数序列  $\langle g_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$  在超积  $\prod A / D$  上  $< _{D}$  - 严格单调递增并且共尾.所以, $\operatorname {cf}(D) = \lambda$