2025-10-27a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-08-05-集合论笔记（第二卷）.md

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 再来看引理1.22，类似的方法，不过是直接正面证明的，步骤则是先找到上界$$f$$满足的一个重要条件：上界几乎与序列中的各个函数相等（同样是两者十分地接近），然后证明任何函数$$h$$都一定会几乎小于某个$$f_\alpha$$。而做到证明两者十分接近的重要一步就是前面找到的同质子模型$$M$$，因为只有这样我们才能居高临下地审视$$f$$与$$f_\alpha$$们究竟有多么接近。
 
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-总结来说，避免出现不可比的情况的重要一步便是证明我们的序列增长地极其快，与上界直接几乎没什么空间能够允许别的函数。而要证明这一步，我们必须缩小我们讨论的范围，将其局限在某一个区域内（比如1.31的$$g$$，又或是1.22的$$M$$）。否则又要有上界，还要充分大，与上界间不留下任何空间，“从下往上”是几乎不可能证明的，因而做这样的限制就是必须的了。
+总结来说，避免出现不可比的情况的重要一步便是证明我们的序列增长地极其快，与上界直接几乎没什么空间能够允许别的函数。而要证明这一步，我们必须缩小我们讨论的范围，将其局限在某一个区域内（比如1.31的$$g$$，又或是1.22的$$M$$）。否则又要有上界，还要充分大，与上界间不留下任何空间，“从下往上”是几乎不可能证明的，因而做这样的限制就是必须的了。
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+## 凝聚化引理
+页数：196页(书177页)
+### 内容
+定理2.10(凝聚化引理)设  $\alpha >0$  是一个极限序数,  $X\subseteq L_{\alpha}$  如果
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+$$
+(X,\in)\prec_{1}(L_{\alpha},\in),
+$$
+
+那么存在唯一的函数  $\pi$  以及序数  $\beta \leq \alpha$  来见证下述事实:<br>
+(a)  $\pi :(X,\in)\cong (L_{\beta},\in)$<br>
+(b)如果  $Y\subseteq X$  是一个传递集合,那么  $(\forall x\in Y(\pi (x) = x))$<br>
+(c)  $(\forall x\in X(\pi (x)\leq x))$
+### 理解
+首先，我们注意到一个基本事实：$\beta$一定是一个极限序数，这是基于$X$中的一个事实：若有序数$\alpha\in X$，则$\forall n<\omega(\alpha+n\in X)$，这是任何子模型$X$都应该满足的。那么，如果$\beta$是一个后继序数，那么$X$中的序数数目肯定也只是后继序数个了，但是这显然是不可能的。<br><br>
+接下来就是关于这个定理本质的理解了，看书之后我们会看到这个定理最主要的两个应用——在证明$\mathrm{ZF} + (V=L)\vdash\mathrm{GCH}$和$\mathrm{ZF} + (V = L) \vdash "存在一个钻石序列"$中最后时刻的决定性压缩——将$\omega_1$压缩到一个可数序数$\alpha$。分析这两个证明过程，这里面最关键的两步分别是**构造可数同质子模型$M$** 以及 **将$M$映射（压缩）到可数层$L_\beta$**，接下来我们分别来分析一下这两个关键步骤。<br><br>
+#### 构造可数子模型$M$
+首先，为什么可以这样构造，这个很简单，使用斯科伦函数构造斯科伦闭包（一定存在，这个意思是用给定的可数个集合一步步套[可定义集合](../集合论第二卷概念辨析/#mathfrak-d)，最终套出来的模型）。其次，这个模型不仅仅构造出来就可以，它还满足一些基本的性质，而这些性质对我们后面的映射至关重要。最主要的，这样构造出来的模型一定是可数的大小，从而必定不含有不可数个的序数，从而$M\cap\omega_1=\alpha<\omega_1$（自然，这个$\alpha$是一个极限序数，原因上面说过了），也就是说如果进行映射（压缩），$\omega_1$下面缺少了很多的序数，其必定塌缩下来到可数的地位。而且由于可数，最终凝聚化映射所映射到的也一定是一个可数层的$L_\beta$。
+#### $M$压缩到可数层
+这一步可以说是最最关键的一步了，这里我们先考虑映射后的情况，由于$M$的性质，映射到的一定是一个可数极限序数$\beta$对应的层$L_\beta$，又由于两者是$\in$关系上同构的，我们来考虑为什么$\omega_1$只能映射到$\alpha$，其他的集合映射也是相同的道理，只不过$\omega_1$相对更好理解一些。如果$\omega_1$映射到大于$\alpha$的序数，可是$\alpha$是属于$L_\beta$的，也就是说在属于关系上，$M$也应该再找一个序数出来顶替$\alpha$的位置（也就是映射上去），可是我们已经说过了，由$\alpha$的定义，不可能还有哪个$M$中的序数能出来顶替这个位置，所以$\omega_1$只能映射到$\alpha$。同样地去考虑其他的集合，各种其他的集合也自然而然地只能映射到那种截断上了。不过还有另一种理解方法，注意到我们构造$M$使用的是可数步的斯科伦函数闭包构造，能构造出来的东西肯定也不会有超过$\omega_1$的复杂度，对于我们在证明中构造出来的一大堆$\omega_1$层的结构，我们也不可能真的能在$M$中找到那样复杂的东西，只能找到在某一步可数层就截断了的残余，所以其他各种集合也只能是可数步就消失不再递归了。<br><br>
+接下来我认为需要说明的是为什么这种压缩是可行的，很明显，这两个证明都十分地依赖于将$\omega_1$压缩到可数序数$\alpha$，而这正依赖于模型$M$仅仅是可数大小，这意味着它没有超高的复杂度（只需要可数的构造步数就能构造出来，所以自然在模型$L_{\omega_1}$中能找到一个可数层数装下它的全部），我们一定可以将它压缩到一个可数序数，同时其内部的全部结构也压缩到可数级别，这一切都是因为凝聚化引理中的$X$（也是这里的$M$）内部只有可数的复杂度，其一定是可以向下压缩，减去其中的各种空隙（比如$\alpha$和$\omega_1$中的空隙），当作传递模型考虑的。

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

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 可定义子集与幂集是不同的，比如对于$\mathfrak D(\mathbb N),\mathfrak P(\mathbb N)$，两者肯定不同（即使加上选择公理），因为前者只有可数个，而后者则不可数。原因在于表达式的数量是可数的，所以我们只能定义极少的一部分子集来。
+### $\mathcal L_{\kappa ,\gamma}$
+页数：209页(书190页)<br>
+语言$\mathcal L_{\kappa ,\gamma}$有如下特点：<br>
+(0)$\kappa,\gammma$是基数<br>
+(1)它有$\kappa$个变元符号<br>
+(2)它有任意基数个关系符号、函数符号和常元符号<br>
+(3)它有五个基本逻辑联结符号，同时对于每一个$\alpha < \kappa$，它有长度为$\alpha$的析取联结符号$V_{\xi < \alpha}$以及合取联结符号$\Lambda_{\xi < \alpha}$<br>
+(4)对于$1\leq \alpha < \gamma$，它有长度为$\alpha$的量词符号$\exists \xi < \alpha v_{\xi}$和$V_{\xi < \alpha}v_{\xi}$<br>
+(5)它的每一个表达式都由上述符号递归地形成
 ## 一些映射符号
 ### $\operatorname{cl}$
 $\operatorname{cl}(X)$指对集合$X$的哥德尔集合运算下的闭包，$\operatorname{cl}_J(X)$则是指简朴集合运算下的闭包。