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Author: passplease

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Chirpy/_posts/2025-04-30-选择公理应用.md

@@ -58,7 +58,7 @@ tags: [数学,集合论,选择公理,笔记]
 
 ## 弱化形式
 关于$AC$（选择公理），其还是过于强了，所以会有一些弱化形式，比如可数选择公理、依赖选择公理等。对于可数选择公理自不必说，依赖选择公理（记为$DC$）则是如下定义的：（来自[数学百科](http://www.shuxueji.com/w/82742)）<br><br>
-对于任意非空集合X及任意X上的全关系$R$而言，皆存在有一个X上的序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，使得以下陈述成立：对于任意的${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}而言，{\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$<br><br>
+对于任意非空集合X及任意X上的全关系$R$而言，皆存在有一个X上的序列{% raw %}${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}${% endraw %}，使得以下陈述成立：对于任意的{% raw %}${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}而言，{\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}${% endraw %}<br><br>
 我们有可数选择公理严格弱于依赖选择公理，又严格弱于选择公理。
 
 [^book]: 冯琦集合论

Chirpy/_posts/2025-05-09-冯琦集合论第二章.md

@@ -163,4 +163,4 @@ Fodor's引理（或下压引理）
 [^wujiebizijilvzi]: 无界闭子集滤子$\mathscr C_\kappa$是在$\kappa$上的一个滤子，$X\subset\kappa(X\in\mathscr C_\kappa\leftrightarrow\exists C\subset X\wedge C是无界闭子集)$
 [^subtractive]: 集合的减法$A-B$，即是集合$$\{x\in A\mid x\notin B\}$$
 [^center]: 对于序数集合$A$，$A'$表示$A$的极限点组成的集合，递归地还有$A''$、$A'''$等等， ~~并且本文中还用$A^{(\alpha)}$来表示取了“$\alpha$”次极限点之后的集合，严谨地：$A^{(\alpha+1)}=(A^{(\alpha)})'$，对于极限序数$\alpha$，定义$A^{(\alpha)}=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}A^{(\beta)}$~~**（我的习惯，但是本文尚未使用）**
-[^keshuzijilixiang]: {% raw %}记可数子集理想为$I$，其收集了集合中所有可列的子集，也就是说$X\in I\leftrightarrow |X|\leq\omega${% endraw %}
+[^keshuzijilixiang]: {% raw %}记可数子集理想为$I$，其收集了集合中所有可列的子集，也就是说$X\in I\leftrightarrow \|X\|\leq\omega${% endraw %}

Chirpy/_posts/2025-06-24-复分析重要结论.md

@@ -115,37 +115,6 @@ z\mapsto\lambda\frac{z-z_0}{1-\bar{z_0}z},|\lambda|=1
 $$
 
 可以注意到这个形式和命题使用的映射是十分像的，我们只需要取$\lambda=1$就得到对应的式子了。所以这个映射是很自然的，结论也是自然的，就是一维施瓦茨引理的自然推广。
-## 模型
-定义见[辨析](../posts/集合论第二卷概念辨析)<br><br>
-### 引理1.12
-如果$M$是传递集合，$\sigma\in(M)^{<\omega}$,$\phi$是一个表达式,那么三元关系
-
-$$
-((M,\in),\sigma)\vDash\phi
-$$
-
-是一个(在$\mathrm{KP}$基础上)$\Delta-$可引入的关系
-### 引理1.13
-设$M$是一个非空传递集合，$\{a_1,\dots,a_n\}\in[M]^n$
-
-$$
-\phi (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})
-$$
-
-是一个彰显自由变元的解析表达式,那么,对于任意的  $a\in M$  令
-
-$$
-\sigma (0) = a,\sigma (1) = a_{1},\dots ,\sigma (n) = a_{n},
-$$
-
-都有
-
-$$
-\phi^{M}[a,a_{1},\dots ,a_{n}]\leftrightarrow (M,\sigma)\vDash \phi
-$$
-
-### 意义
-通过模型，我们可以将在外部对于集合和公理体系的探讨转换到内部的，对于集合的关系间的探讨，这将我们的高度压低，能够从俯视的角度审视公理体系。
 
 ---
 [^book]: 苏联教材：复分析导论，沙巴特著[第一卷](https://zh.z-library.sk/book/7119022/0fac64/%E5%A4%8D%E5%88%86%E6%9E%90%E5%AF%BC%E8%AE%BA%E5%8D%95%E5%A4%8D%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0.html)、[第二卷](https://zh.z-library.sk/book/7119023/44e6e5/%E5%A4%8D%E5%88%86%E6%9E%90%E5%AF%BC%E8%AE%BA%E5%A4%9A%E5%A4%8D%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0.html)（页数默认指第二卷页数）

Chirpy/_posts/2025-08-12-我的集合论问题（第二卷）.md

@@ -137,15 +137,15 @@ $$
 页数：127页(书108页)<br><br>
 >完全没有看懂证明
 
-引理1.25 设  $$A$$  是正则基数的一个无穷区间, 并且  $$\min (A) = \left(2^{|A|}\right)^{+}$$ , 那么  $$\operatorname {pcf}(A)$$  也是一个区间.
+引理1.25 设  $$A$$  是正则基数的一个无穷区间, 并且  $$\min (A) = \left(2^{\|A\|}\right)^{+}$$ , 那么  $$\operatorname {pcf}(A)$$  也是一个区间.
 
 证明 设  $$U$$  是  $$A$$  上的一个超滤子. 设  $$\lambda$$  为一个满足不等式要求  $$\min (A) \leqslant \lambda < \operatorname {cf}(U)$$  的正则基数. 我们来寻找一个  $$A$$  上的超滤子  $$D$$  以实现等式  $$\operatorname {pcf}(D) = \lambda$$ .
 
-令  $$\langle f_{\alpha} \mid \alpha < \operatorname {pcf}(U)\rangle$$  为  $$\prod A$$  的一个  $$U$$ - 严格单调递增的函数序列. 由于  $$\lambda > 2^{|A|}$$ , 根据引理1.22, 这个序列有一个在序  $$\leqslant D$$  之下的最小上界  $$g$$ . 对于每一个  $$a \in A$$ ,
+令  $$\langle f_{\alpha} \mid \alpha < \operatorname {pcf}(U)\rangle$$  为  $$\prod A$$  的一个  $$U$$ - 严格单调递增的函数序列. 由于  $$\lambda > 2^{\|A\|}$$ , 根据引理1.22, 这个序列有一个在序  $$\leqslant D$$  之下的最小上界  $$g$$ . 对于每一个  $$a \in A$$ ,
 
 令  $$h(a) = \operatorname {cf}(g(a))$$  ,以及令  $$S_{a}\subset g(a)$$  为一个序型为  $$h(a)$$  的无界闭集,那么超积  $$\prod_{a\in A}S_{a} / U$$  中包含了一个长度为  $$\lambda$$  并且在  $$g$$  之下共尾的  $$< _{D}$$  - 严格单调递增的序列.因此,超积  $$\prod_{a\in A}h(a) / U$$  就有一个长度为  $$\lambda$$  的  $$< _{U}$$  - 严格单调递增的共尾序列 $$\langle h_{\alpha}\mid \alpha < \lambda \rangle$$
 
-因为集合  $$\left(2^{|A|}\right)^{A}$$  的势严格小于  $$\lambda$$  集合  $$\left\{a\in A\mid h(a) > 2^{|A|}\right\} \in U.$$  基于这一事实,我们不妨假设  $$\forall a\in A(h(a)\in A)$$  .利用这个  $$h$$  如下定义  $$A$$  上的超滤于  $$D$$  :
+因为集合  $$\left(2^{\|A\|}\right)^{A}$$  的势严格小于  $$\lambda$$  集合  $$\left\{a\in A\mid h(a) > 2^{\|A\|}\right\} \in U.$$  基于这一事实,我们不妨假设  $$\forall a\in A(h(a)\in A)$$  .利用这个  $$h$$  如下定义  $$A$$  上的超滤于  $$D$$  :
 
 $$
 D = \left\{X\subseteq A\mid h^{-1}[X]\in U\right\} .

Chirpy/_posts/2025-08-23-集合论习题（第二卷）.md

@@ -39,7 +39,7 @@ $$\rightarrow$$是显然的，$$\leftarrow$$证明如下：<br>
 任意取$$x\in y$$，根据条件，$$\exists a\in y(x\subset a\wedge\mathbf{CDJ}(a))$$，可是还有$$\mathcal{TC}(x)\subseteq a$$并且$$a$$是有限集合（条件），所以$$\mathcal{TC}(x)$$也得是有限集合。从而任意$$x\in y$$都是彻底有限集合，故而$$x\in V_\omega$$。<br>
 #### 疑问
 证明到此完成，可是还有一些问题需要回答，定理右边的条件我们证明并没有用完，比如$$\forall a \in y \exists b \in y (b = a \cup \{a\})$$对我们根本没有用（$$\forall x \in [y]^{< \omega} (x \in y)$$在从左到右的证明中用到了，最前面两个基础条件不说了）。可是仔细检查我们的证明过程也没什么问题，从左到右，的确只用了条件$$\forall x \in [y]^{< \omega} (x \in y)$$；从右到左，的确两个条件就能得到$$x$$是彻底有限的。那这个语句真的是多余的吗？我认为就是多余的，因为这个条件可以由后面三个条件推出，如下：<br>
-对于$$a$$，我们可以知道$$a$$是有限的，而且$$a\subset y$$（$$y$$传递），所以$$a\cup\{a\}\in \[y\]^{<\omega}$$，从而属于$$y$$。
+对于$$a$$，我们可以知道$$a$$是有限的，而且$$a\subset y$$（$$y$$传递），所以$$a\cup\{a\}\in [y]^{<\omega}$$，从而属于$$y$$。
 ## 例1.4(1)
 页数：78页(书59页)
 ### 命题
@@ -113,7 +113,7 @@ $$
 
 (2)如果  $$\delta \leqslant \kappa$$  是一个极限序数, 那么  $$U_{\delta} = \bigcup_{\alpha < \delta}U_{\alpha}$$
 
-(3)$$|U_{\kappa}| = \kappa$$,以及$$\forall \alpha < \kappa |U_{\alpha}|< \kappa$$。那么
+(3)$$\|U_{\kappa}\| = \kappa$$,以及$$\forall \alpha < \kappa \|U_{\alpha}\|< \kappa$$。那么
 
 $$
 \forall \alpha < \kappa \exists \beta (\alpha \in \beta \in \kappa \land \beta \in \mathrm{LimOrd}\land U_{\beta}\neq \varnothing \land \bigwedge\limits_{i<k}(U_{\beta}\prec U_{\kappa}))

Chirpy/_posts/2025-09-09-集合论第二卷概念辨析.md

@@ -19,6 +19,37 @@ $$
 \forall P_A(x)\Longleftrightarrow x\in A
 $$
 
+## 模型
+定义见[辨析](../posts/集合论第二卷概念辨析)<br><br>
+### 引理1.12
+如果$M$是传递集合，$\sigma\in(M)^{<\omega}$,$\phi$是一个表达式,那么三元关系
+
+$$
+((M,\in),\sigma)\vDash\phi
+$$
+
+是一个(在$\mathrm{KP}$基础上)$\Delta-$可引入的关系
+### 引理1.13
+设$M$是一个非空传递集合，$\{a_1,\dots,a_n\}\in[M]^n$
+
+$$
+\phi (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})
+$$
+
+是一个彰显自由变元的解析表达式,那么,对于任意的  $a\in M$  令
+
+$$
+\sigma (0) = a,\sigma (1) = a_{1},\dots ,\sigma (n) = a_{n},
+$$
+
+都有
+
+$$
+\phi^{M}[a,a_{1},\dots ,a_{n}]\leftrightarrow (M,\sigma)\vDash \phi
+$$
+
+### 意义
+通过模型，我们可以将在外部对于集合和公理体系的探讨转换到内部的，对于集合的关系间的探讨，这将我们的高度压低，能够从俯视的角度审视公理体系。
 ## 力迫法
 ### 力迫构思
 如果偏序集$\mathbb P=(P,<)$满足<br>

Chirpy/_tabs/about.md

@@ -17,10 +17,6 @@ order: 4
 ## 其他
 如果看到文章数学公式未显示出来，请稍等一会，数学公式加载比较耗时，等浏览器缓冲完成刷新页面即可，如果多次尝试都不行可评论告知。
 ## Bugs
-1. [集合论笔记](../posts/集合论笔记/#书中证明)部分渲染有错误
-2. [历史](../archives)日期渲染错误
-3. [冯琦集合论滤子、理想笔记](../posts/冯琦集合论第二章/)注释渲染错误
-4. [集合论笔记（第二卷）](../posts/集合论习题/#非标准自然数)部分渲染有误
-5. [我做的集合论习题](../posts/集合论习题-第二卷)多部分公式渲染有误
-6. [我做的集合论习题（第二卷）](../posts/集合论习题-第二卷/#关于v_omega的两个命题)公式渲染有误
-7. 部分文件夹路径渲染不当，文字太小
+1. [历史](../archives)日期渲染错误
+2. 部分文件夹路径渲染不当，文字太小
+3. [我做的集合论习题](../posts/集合论习题-第二卷/#命题)中一个公式渲染到屏幕外去了